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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Verwandtschaftsbeziehungen. § 163--164
hat hingegen auch dann noch, wie überhaupt immer, seine direkte
Anwendung.

§ 163. Nach dem Princip der gleichen Konstruktion nennen
wir zwei Vereine einander reciprok, wenn jedem Punkte des ersten
Vereins eine Gerade des andern dergestalt entspricht, dass, wenn
man in der Ebene des ersten Vereines eine Gerade zieht, von allen
Punkten, welche in dieser Geraden liegen, die entsprechenden
Geraden des andern Vereines durch einen Punkt gehen, und um-
gekehrt zu allen Geraden des zweiten Vereines, welche durch den-
selben Punkt gezogen werden können, die entsprechenden Punkte
des ersten in einer geraden Linie liegen. Eben so werden zwei
räumliche Vereine einander nach dem Princip der gleichen Kon-
struktion reciprok sein, wenn die Ebenen des zweiten Vereins,
welche den sämmtlichen Punkten einer Geraden im ersten entspre-
chen, sich in einer und derselben Geraden schneiden, und umge-
kehrt die Punkte des ersten Vereins, welche den sämmtlichen Ebe-
nen, die durch dieselbe gerade Linie gehen, und dem zweiten
Vereine angehörig gedacht werden, sich durch eine gerade Linie
verbinden lassen. Es bedarf kaum noch einer Auseinandersetzung,
dass die auf diese Weise reciproken Gebilde es auch nach dem
Princip der gleichen Zeiger sind, indem sich dies genau auf die-
selbe Weise ergiebt, wie es sich oben für die Kollineation ergab.

§ 164. Setzen wir drei Punkte, die nicht in einer geraden
Linie liegen, entsprechend mit drei Punkten, die auch nicht in ge-
rader Linie liegen, und bilden daraus durch gleiche Zeiger zwei
Vereine entsprechender Grössen: so wird das Gewicht einer jeden
Grösse die Summe ihrer 3 Zeiger, also das Gewicht zweier ent-
sprechender Grössen dasselbe sein; es erscheinen also auch die
Punkte selbst überall als entsprechende Grössen, und es herrscht
also zwischen den Vereinen der entsprechenden Punkte selbst Af-
finität. Daraus folgt, dass, wenn a, b, c drei in gerader Linie
liegende Punkte, a', b', c' drei ihnen entsprechende Punkte eines
affinen Punktgebildes sind, dann nicht nur auch a', b', c' in gera-
der Linie liegen, sondern auch die zwischen ihnen befindlichen
Abschnitte proportional sein müssen, denn wenn
[Formel 1]

Verwandtschaftsbeziehungen. § 163—164
hat hingegen auch dann noch, wie überhaupt immer, seine direkte
Anwendung.

§ 163. Nach dem Princip der gleichen Konstruktion nennen
wir zwei Vereine einander reciprok, wenn jedem Punkte des ersten
Vereins eine Gerade des andern dergestalt entspricht, dass, wenn
man in der Ebene des ersten Vereines eine Gerade zieht, von allen
Punkten, welche in dieser Geraden liegen, die entsprechenden
Geraden des andern Vereines durch einen Punkt gehen, und um-
gekehrt zu allen Geraden des zweiten Vereines, welche durch den-
selben Punkt gezogen werden können, die entsprechenden Punkte
des ersten in einer geraden Linie liegen. Eben so werden zwei
räumliche Vereine einander nach dem Princip der gleichen Kon-
struktion reciprok sein, wenn die Ebenen des zweiten Vereins,
welche den sämmtlichen Punkten einer Geraden im ersten entspre-
chen, sich in einer und derselben Geraden schneiden, und umge-
kehrt die Punkte des ersten Vereins, welche den sämmtlichen Ebe-
nen, die durch dieselbe gerade Linie gehen, und dem zweiten
Vereine angehörig gedacht werden, sich durch eine gerade Linie
verbinden lassen. Es bedarf kaum noch einer Auseinandersetzung,
dass die auf diese Weise reciproken Gebilde es auch nach dem
Princip der gleichen Zeiger sind, indem sich dies genau auf die-
selbe Weise ergiebt, wie es sich oben für die Kollineation ergab.

§ 164. Setzen wir drei Punkte, die nicht in einer geraden
Linie liegen, entsprechend mit drei Punkten, die auch nicht in ge-
rader Linie liegen, und bilden daraus durch gleiche Zeiger zwei
Vereine entsprechender Grössen: so wird das Gewicht einer jeden
Grösse die Summe ihrer 3 Zeiger, also das Gewicht zweier ent-
sprechender Grössen dasselbe sein; es erscheinen also auch die
Punkte selbst überall als entsprechende Grössen, und es herrscht
also zwischen den Vereinen der entsprechenden Punkte selbst Af-
finität. Daraus folgt, dass, wenn a, b, c drei in gerader Linie
liegende Punkte, a′, b′, c′ drei ihnen entsprechende Punkte eines
affinen Punktgebildes sind, dann nicht nur auch a′, b′, c′ in gera-
der Linie liegen, sondern auch die zwischen ihnen befindlichen
Abschnitte proportional sein müssen, denn wenn
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[250/0286] Verwandtschaftsbeziehungen. § 163—164 hat hingegen auch dann noch, wie überhaupt immer, seine direkte Anwendung. § 163. Nach dem Princip der gleichen Konstruktion nennen wir zwei Vereine einander reciprok, wenn jedem Punkte des ersten Vereins eine Gerade des andern dergestalt entspricht, dass, wenn man in der Ebene des ersten Vereines eine Gerade zieht, von allen Punkten, welche in dieser Geraden liegen, die entsprechenden Geraden des andern Vereines durch einen Punkt gehen, und um- gekehrt zu allen Geraden des zweiten Vereines, welche durch den- selben Punkt gezogen werden können, die entsprechenden Punkte des ersten in einer geraden Linie liegen. Eben so werden zwei räumliche Vereine einander nach dem Princip der gleichen Kon- struktion reciprok sein, wenn die Ebenen des zweiten Vereins, welche den sämmtlichen Punkten einer Geraden im ersten entspre- chen, sich in einer und derselben Geraden schneiden, und umge- kehrt die Punkte des ersten Vereins, welche den sämmtlichen Ebe- nen, die durch dieselbe gerade Linie gehen, und dem zweiten Vereine angehörig gedacht werden, sich durch eine gerade Linie verbinden lassen. Es bedarf kaum noch einer Auseinandersetzung, dass die auf diese Weise reciproken Gebilde es auch nach dem Princip der gleichen Zeiger sind, indem sich dies genau auf die- selbe Weise ergiebt, wie es sich oben für die Kollineation ergab. § 164. Setzen wir drei Punkte, die nicht in einer geraden Linie liegen, entsprechend mit drei Punkten, die auch nicht in ge- rader Linie liegen, und bilden daraus durch gleiche Zeiger zwei Vereine entsprechender Grössen: so wird das Gewicht einer jeden Grösse die Summe ihrer 3 Zeiger, also das Gewicht zweier ent- sprechender Grössen dasselbe sein; es erscheinen also auch die Punkte selbst überall als entsprechende Grössen, und es herrscht also zwischen den Vereinen der entsprechenden Punkte selbst Af- finität. Daraus folgt, dass, wenn a, b, c drei in gerader Linie liegende Punkte, a′, b′, c′ drei ihnen entsprechende Punkte eines affinen Punktgebildes sind, dann nicht nur auch a′, b′, c′ in gera- der Linie liegen, sondern auch die zwischen ihnen befindlichen Abschnitte proportional sein müssen, denn wenn [FORMEL]

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 250. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/286>, abgerufen am 13.05.2024.