Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 162 Vergleichung mit der gewöhnlichen Auffassungsweise. fünf solche nimmt, von denen keine vier in Einer Ebene liegen.Dann zeigt sich, wie nach dem Princip der gleichen Konstruktion jeden vier Punkten des einen Vereins, welche in Einer Ebene lie- gen, auch vier Punkte des andern entsprechen müssen, welche gleichfalls in Einer Ebene liegen. Denn vier Punkte, welche in derselben Ebene liegen, müssen sich so verbinden lassen, dass ihre Verbindungslinien sich kreuzen; diesem Kreuzpunkte muss dann auch ein Kreuzpunkt der entsprechenden Verbindungslinien des andern Raumes entsprechen, also müssen auch diese Verbindungs- linien, also auch die Punkte, welche durch sie verbunden werden, in Einer Ebene liegen. Sind nun A, B, C, D, E und A', B', C', D', E' die fünf entsprechenden Punktenpaare, so wird nach dem Princip der gleichen Konstruktion dem Durchschnitte der Ebene ABC mit der geraden Linie DE der Durchschnitt von A'B'C' mit D'E' entsprechen. Nun können wir ganz auf dieselbe Weise, wie vor- her, den fünf Punktenpaaren solche Gewichte geben, dass die so entstehenden Elementargrössen a, b, c, d, e und a', b', c', d', e' einander affin werden, indem man nur in jedem Vereine einen je- ner Punkte als Vielfachensumme der übrigen desselben Vereins darzustellen, und diese Vielfachen als die entsprechenden Elementar- grössen zu setzen braucht. Dann sind nach § 157 auch die Pro- dukte abc.de und a'b'c' . d'e' einander entsprechende Grössen jener affinen Vereine; die Elemente dieser Produkte, d. h. die oben be- zeichneten Durchschnittspunkte sind also dann auch nach dem Prin- cip der gleichen Zeiger einander kollinear entsprechend. Somit wieder, wenn irgend 5 Elemente des einen Vereines nach beiden Principien 5 Elementen des andern entsprechen, so wird auch je- des sechste Elementenpaar, was nach dem Princip der gleichen Konstruktion sich als entsprechendes nachweisen lässt, sich auch nach dem Princip der gleichen Zeiger als solches nachweisen lassen. Es ist also in der That die Identität beider Principien für § 162 Vergleichung mit der gewöhnlichen Auffassungsweise. fünf solche nimmt, von denen keine vier in Einer Ebene liegen.Dann zeigt sich, wie nach dem Princip der gleichen Konstruktion jeden vier Punkten des einen Vereins, welche in Einer Ebene lie- gen, auch vier Punkte des andern entsprechen müssen, welche gleichfalls in Einer Ebene liegen. Denn vier Punkte, welche in derselben Ebene liegen, müssen sich so verbinden lassen, dass ihre Verbindungslinien sich kreuzen; diesem Kreuzpunkte muss dann auch ein Kreuzpunkt der entsprechenden Verbindungslinien des andern Raumes entsprechen, also müssen auch diese Verbindungs- linien, also auch die Punkte, welche durch sie verbunden werden, in Einer Ebene liegen. Sind nun A, B, C, D, E und A′, B′, C′, D′, E′ die fünf entsprechenden Punktenpaare, so wird nach dem Princip der gleichen Konstruktion dem Durchschnitte der Ebene ABC mit der geraden Linie DE der Durchschnitt von A′B′C′ mit D′E′ entsprechen. Nun können wir ganz auf dieselbe Weise, wie vor- her, den fünf Punktenpaaren solche Gewichte geben, dass die so entstehenden Elementargrössen a, b, c, d, e und a′, b′, c′, d′, e′ einander affin werden, indem man nur in jedem Vereine einen je- ner Punkte als Vielfachensumme der übrigen desselben Vereins darzustellen, und diese Vielfachen als die entsprechenden Elementar- grössen zu setzen braucht. Dann sind nach § 157 auch die Pro- dukte abc.de und a′b′c′ . d′e′ einander entsprechende Grössen jener affinen Vereine; die Elemente dieser Produkte, d. h. die oben be- zeichneten Durchschnittspunkte sind also dann auch nach dem Prin- cip der gleichen Zeiger einander kollinear entsprechend. Somit wieder, wenn irgend 5 Elemente des einen Vereines nach beiden Principien 5 Elementen des andern entsprechen, so wird auch je- des sechste Elementenpaar, was nach dem Princip der gleichen Konstruktion sich als entsprechendes nachweisen lässt, sich auch nach dem Princip der gleichen Zeiger als solches nachweisen lassen. Es ist also in der That die Identität beider Principien für <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0285" n="249"/><fw place="top" type="header">§ 162 Vergleichung mit der gewöhnlichen Auffassungsweise.</fw><lb/> fünf solche nimmt, von denen keine vier in Einer Ebene liegen.<lb/> Dann zeigt sich, wie nach dem Princip der gleichen Konstruktion<lb/> jeden vier Punkten des einen Vereins, welche in Einer Ebene lie-<lb/> gen, auch vier Punkte des andern entsprechen müssen, welche<lb/> gleichfalls in Einer Ebene liegen. 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§ 162 Vergleichung mit der gewöhnlichen Auffassungsweise.
fünf solche nimmt, von denen keine vier in Einer Ebene liegen.
Dann zeigt sich, wie nach dem Princip der gleichen Konstruktion
jeden vier Punkten des einen Vereins, welche in Einer Ebene lie-
gen, auch vier Punkte des andern entsprechen müssen, welche
gleichfalls in Einer Ebene liegen. Denn vier Punkte, welche in
derselben Ebene liegen, müssen sich so verbinden lassen, dass ihre
Verbindungslinien sich kreuzen; diesem Kreuzpunkte muss dann
auch ein Kreuzpunkt der entsprechenden Verbindungslinien des
andern Raumes entsprechen, also müssen auch diese Verbindungs-
linien, also auch die Punkte, welche durch sie verbunden werden,
in Einer Ebene liegen. Sind nun A, B, C, D, E und A′, B′, C′,
D′, E′ die fünf entsprechenden Punktenpaare, so wird nach dem
Princip der gleichen Konstruktion dem Durchschnitte der Ebene
ABC mit der geraden Linie DE der Durchschnitt von A′B′C′ mit D′E′
entsprechen. Nun können wir ganz auf dieselbe Weise, wie vor-
her, den fünf Punktenpaaren solche Gewichte geben, dass die so
entstehenden Elementargrössen a, b, c, d, e und a′, b′, c′, d′, e′
einander affin werden, indem man nur in jedem Vereine einen je-
ner Punkte als Vielfachensumme der übrigen desselben Vereins
darzustellen, und diese Vielfachen als die entsprechenden Elementar-
grössen zu setzen braucht. Dann sind nach § 157 auch die Pro-
dukte abc.de und a′b′c′ . d′e′ einander entsprechende Grössen jener
affinen Vereine; die Elemente dieser Produkte, d. h. die oben be-
zeichneten Durchschnittspunkte sind also dann auch nach dem Prin-
cip der gleichen Zeiger einander kollinear entsprechend. Somit
wieder, wenn irgend 5 Elemente des einen Vereines nach beiden
Principien 5 Elementen des andern entsprechen, so wird auch je-
des sechste Elementenpaar, was nach dem Princip der gleichen
Konstruktion sich als entsprechendes nachweisen lässt, sich auch
nach dem Princip der gleichen Zeiger als solches nachweisen
lassen.
Es ist also in der That die Identität beider Principien für
ebene sowohl als körperliche Räume nachgewiesen. Bei Punkten
einer geraden Linie reicht das Princip der gleichen Konstruktio-
nen nur dann aus, wenn man mit den Konstruktionen aus der ge-
raden Linie herausgeht, und also ein entsprechendes Punktenpaar
ausserhalb derselben annimmt; das Princip der gleichen Zeiger
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