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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Verwandtschaftsbeziehungen. § 161--162
der so gebildeten Grössen einander affin sind; oder mit andern
Worten, dass zwei Räume, welche nach dem Princip der gleichen
Konstruktionen einander kollinear sind, es auch nach dem Princip
der gleichen Zeiger sind.

§ 161. Um dies zuerst für die Ebene zu beweisen, nehme
man irgend vier Punkte in der einen Ebene an, von denen keine
drei in gerader Linie liegen, und eben so in der andern auch vier
solche Punkte, und setze sie einander entsprechend, was nach dem
Princip der gleichen Konstruktionen verstattet ist, weil der vierte
Punkt von den drei ersten durch keine lineäre Konstruktion ab-
hängt: Nun kann man in jeder Ebene dreien von den Punkten sol-
che Gewichte hinzufügen, dass der vierte Punkt als Summe der so
gebildeten 3 Elementargrössen erscheint; denn wenn man nur jene
3 Punkte als Richtelemente annimmt, so sind die 3 Richtstücke
des vierten Punktes die verlangten Elementargrössen; nimmt man
nun diese 3 Paare von Elementargrössen als einander entsprechende
Grössen zweier affiner Vereine an, so sind auch die beiden vierten
Punkte entsprechende Grössen derselben Vereine. Nun erhält man
nach dem Princip der gleichen lineären Konstruktion aus 4 entspre-
chenden Punktenpaaren ABCD und A'B'C'D' zweier kollinearer ebenen
Räume (Fig. 15. u. 16.) ein neues Paar durch das Kreuzen der entspre-
chenden Linien AB und CD einerseits, und A'B' und C'D' andererseits,
indem der eine Kreuzpunkt, da er zweien Geraden des einen Ver-
eines angehört, auch als entsprechenden Punkt denjenigen Punkt
haben muss, welcher den entsprechenden Geraden des andern Ver-
eines angehört, also den Kreuzpunkt beider Geraden. Sind nun
die zu jenen Elementen gehörigen Elementargrössen a, b, c, d und
a', b', c', d' einander affin, so sind es auch die Produkte ab . cd
und a'b' . c'd' (nach § 157), und die Elemente dieser Produkte, d. h.
die oben bezeichneten Kreuzpunkte, sind also dann auch nach dem
Princip der gleichen Zeiger einander kollinear. Also je zwei Ele-
mente, welche in der Ebene sich als entsprechende nach dem Prin-
cip der gleichen Konstruktion nachweisen lassen, sind es auch nach
dem Princip der gleichen Zeiger.

§ 162. Entsprechend lässt sich der Satz für Körperräume
nachweisen, indem man dann nur statt jener vier Punktenpaare

Verwandtschaftsbeziehungen. § 161—162
der so gebildeten Grössen einander affin sind; oder mit andern
Worten, dass zwei Räume, welche nach dem Princip der gleichen
Konstruktionen einander kollinear sind, es auch nach dem Princip
der gleichen Zeiger sind.

§ 161. Um dies zuerst für die Ebene zu beweisen, nehme
man irgend vier Punkte in der einen Ebene an, von denen keine
drei in gerader Linie liegen, und eben so in der andern auch vier
solche Punkte, und setze sie einander entsprechend, was nach dem
Princip der gleichen Konstruktionen verstattet ist, weil der vierte
Punkt von den drei ersten durch keine lineäre Konstruktion ab-
hängt: Nun kann man in jeder Ebene dreien von den Punkten sol-
che Gewichte hinzufügen, dass der vierte Punkt als Summe der so
gebildeten 3 Elementargrössen erscheint; denn wenn man nur jene
3 Punkte als Richtelemente annimmt, so sind die 3 Richtstücke
des vierten Punktes die verlangten Elementargrössen; nimmt man
nun diese 3 Paare von Elementargrössen als einander entsprechende
Grössen zweier affiner Vereine an, so sind auch die beiden vierten
Punkte entsprechende Grössen derselben Vereine. Nun erhält man
nach dem Princip der gleichen lineären Konstruktion aus 4 entspre-
chenden Punktenpaaren ABCD und A′B′C′D′ zweier kollinearer ebenen
Räume (Fig. 15. u. 16.) ein neues Paar durch das Kreuzen der entspre-
chenden Linien AB und CD einerseits, und A′B′ und C′D′ andererseits,
indem der eine Kreuzpunkt, da er zweien Geraden des einen Ver-
eines angehört, auch als entsprechenden Punkt denjenigen Punkt
haben muss, welcher den entsprechenden Geraden des andern Ver-
eines angehört, also den Kreuzpunkt beider Geraden. Sind nun
die zu jenen Elementen gehörigen Elementargrössen a, b, c, d und
a′, b′, c′, d′ einander affin, so sind es auch die Produkte ab . cd
und a′b′ . c′d′ (nach § 157), und die Elemente dieser Produkte, d. h.
die oben bezeichneten Kreuzpunkte, sind also dann auch nach dem
Princip der gleichen Zeiger einander kollinear. Also je zwei Ele-
mente, welche in der Ebene sich als entsprechende nach dem Prin-
cip der gleichen Konstruktion nachweisen lassen, sind es auch nach
dem Princip der gleichen Zeiger.

§ 162. Entsprechend lässt sich der Satz für Körperräume
nachweisen, indem man dann nur statt jener vier Punktenpaare

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[248/0284] Verwandtschaftsbeziehungen. § 161—162 der so gebildeten Grössen einander affin sind; oder mit andern Worten, dass zwei Räume, welche nach dem Princip der gleichen Konstruktionen einander kollinear sind, es auch nach dem Princip der gleichen Zeiger sind. § 161. Um dies zuerst für die Ebene zu beweisen, nehme man irgend vier Punkte in der einen Ebene an, von denen keine drei in gerader Linie liegen, und eben so in der andern auch vier solche Punkte, und setze sie einander entsprechend, was nach dem Princip der gleichen Konstruktionen verstattet ist, weil der vierte Punkt von den drei ersten durch keine lineäre Konstruktion ab- hängt: Nun kann man in jeder Ebene dreien von den Punkten sol- che Gewichte hinzufügen, dass der vierte Punkt als Summe der so gebildeten 3 Elementargrössen erscheint; denn wenn man nur jene 3 Punkte als Richtelemente annimmt, so sind die 3 Richtstücke des vierten Punktes die verlangten Elementargrössen; nimmt man nun diese 3 Paare von Elementargrössen als einander entsprechende Grössen zweier affiner Vereine an, so sind auch die beiden vierten Punkte entsprechende Grössen derselben Vereine. Nun erhält man nach dem Princip der gleichen lineären Konstruktion aus 4 entspre- chenden Punktenpaaren ABCD und A′B′C′D′ zweier kollinearer ebenen Räume (Fig. 15. u. 16.) ein neues Paar durch das Kreuzen der entspre- chenden Linien AB und CD einerseits, und A′B′ und C′D′ andererseits, indem der eine Kreuzpunkt, da er zweien Geraden des einen Ver- eines angehört, auch als entsprechenden Punkt denjenigen Punkt haben muss, welcher den entsprechenden Geraden des andern Ver- eines angehört, also den Kreuzpunkt beider Geraden. Sind nun die zu jenen Elementen gehörigen Elementargrössen a, b, c, d und a′, b′, c′, d′ einander affin, so sind es auch die Produkte ab . cd und a′b′ . c′d′ (nach § 157), und die Elemente dieser Produkte, d. h. die oben bezeichneten Kreuzpunkte, sind also dann auch nach dem Princip der gleichen Zeiger einander kollinear. Also je zwei Ele- mente, welche in der Ebene sich als entsprechende nach dem Prin- cip der gleichen Konstruktion nachweisen lassen, sind es auch nach dem Princip der gleichen Zeiger. § 162. Entsprechend lässt sich der Satz für Körperräume nachweisen, indem man dann nur statt jener vier Punktenpaare

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 248. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/284>, abgerufen am 25.11.2024.