Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 160 Lineäre Verwandtschaft. Kollineation, Reciprocität. Gewichte 1, oder als System, dem die Grösse angehörte. Eben somussten die Linie, die Ebene, der Raum, wenn sie als Grössen erscheinen sollten, einen bestimmten Masswerth darbieten, und so als Liniengrösse, Plangrösse und begränzter Körperraum aufgefasst werden. Es ist besonders die erste Betrachtungsweise (der Punkte als Grössen), welche von der gewöhnlichen gänzlich abweicht. Es bleibt uns daher jetzt noch besonders übrig, für die in diesem Kapitel dargestellten Gesetze jene Differenz auszugleichen. Wir knüpfen diese Betrachtung an die allgemeine Verwandtschaft der Affinität, und nennen zunächst die entsprechenden Systeme zweier affiner Vereine, lineär verwandt, und zwar wenn jene Vereine di- rekt affin sind, so nennen wir die Vereine ihrer Systeme kollinear verwandt, und wenn sie reciprok affin sind, reciprok verwandt; oder um diese Begriffe sogleich auf die Geometrie zu übertragen, wenn zwei Vereine von Grössen (Elementargrössen, Liniengrössen, Plangrössen) in direkter oder reciproker Affinität stehen, so nen- nen wir die Vereine der ihnen zugehörigen Systeme (Punkte, Li- nien, Ebenen) kollinear oder reciprok verwandt. Wir haben nun nachzuweisen, dass diese Begriffe mit den sonst unter den aufge- führten Namen verstandenen Begriffen zusammen fallen. Möbius, der Begründer dieser allgemeinen Verwandtschaftstheorie, stellt als den Begriff der Kollineation auf*), dass bei zwei ebenen oder kör- perlichen Räumen, welche in dieser Verwandtschaft stehen, jedem Punkte des einen Raumes ein Punkt in dem andern Raume derge- stalt entspricht, dass wenn man in dem einen Raume eine belie- bige Gerade zieht, von allen Punkten, welche von dieser Geraden getroffen werden, die entsprechenden Punkte des andern Raumes gleichfalls durch eine Gerade verbunden werden können. Hieraus folgt vermöge der in den vorigen Paragraphen dargelegten Gesetze, dass in der That die Systeme, welche den entsprechenden Grössen zweier direkt affiner Vereine zugehören, zwei kollineare Vereine in dem von Möbins dargestellten Sinne bilden; aber auch umge- kehrt lässt sich zeigen, dass, wenn zwei Räume in diesem Sinne als kollinear verwandt erscheinen, die entsprechenden Punkte auch mit solchen Gewichten behaftet werden können, dass die Vereine *) in seinem barycentrischen Kalkül § 217.
§ 160 Lineäre Verwandtschaft. Kollineation, Reciprocität. Gewichte 1, oder als System, dem die Grösse angehörte. Eben somussten die Linie, die Ebene, der Raum, wenn sie als Grössen erscheinen sollten, einen bestimmten Masswerth darbieten, und so als Liniengrösse, Plangrösse und begränzter Körperraum aufgefasst werden. Es ist besonders die erste Betrachtungsweise (der Punkte als Grössen), welche von der gewöhnlichen gänzlich abweicht. Es bleibt uns daher jetzt noch besonders übrig, für die in diesem Kapitel dargestellten Gesetze jene Differenz auszugleichen. Wir knüpfen diese Betrachtung an die allgemeine Verwandtschaft der Affinität, und nennen zunächst die entsprechenden Systeme zweier affiner Vereine, lineär verwandt, und zwar wenn jene Vereine di- rekt affin sind, so nennen wir die Vereine ihrer Systeme kollinear verwandt, und wenn sie reciprok affin sind, reciprok verwandt; oder um diese Begriffe sogleich auf die Geometrie zu übertragen, wenn zwei Vereine von Grössen (Elementargrössen, Liniengrössen, Plangrössen) in direkter oder reciproker Affinität stehen, so nen- nen wir die Vereine der ihnen zugehörigen Systeme (Punkte, Li- nien, Ebenen) kollinear oder reciprok verwandt. Wir haben nun nachzuweisen, dass diese Begriffe mit den sonst unter den aufge- führten Namen verstandenen Begriffen zusammen fallen. Möbius, der Begründer dieser allgemeinen Verwandtschaftstheorie, stellt als den Begriff der Kollineation auf*), dass bei zwei ebenen oder kör- perlichen Räumen, welche in dieser Verwandtschaft stehen, jedem Punkte des einen Raumes ein Punkt in dem andern Raume derge- stalt entspricht, dass wenn man in dem einen Raume eine belie- bige Gerade zieht, von allen Punkten, welche von dieser Geraden getroffen werden, die entsprechenden Punkte des andern Raumes gleichfalls durch eine Gerade verbunden werden können. Hieraus folgt vermöge der in den vorigen Paragraphen dargelegten Gesetze, dass in der That die Systeme, welche den entsprechenden Grössen zweier direkt affiner Vereine zugehören, zwei kollineare Vereine in dem von Möbins dargestellten Sinne bilden; aber auch umge- kehrt lässt sich zeigen, dass, wenn zwei Räume in diesem Sinne als kollinear verwandt erscheinen, die entsprechenden Punkte auch mit solchen Gewichten behaftet werden können, dass die Vereine *) in seinem barycentrischen Kalkül § 217.
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§ 160 Lineäre Verwandtschaft. Kollineation, Reciprocität.
Gewichte 1, oder als System, dem die Grösse angehörte. Eben so
mussten die Linie, die Ebene, der Raum, wenn sie als Grössen
erscheinen sollten, einen bestimmten Masswerth darbieten, und so
als Liniengrösse, Plangrösse und begränzter Körperraum aufgefasst
werden. Es ist besonders die erste Betrachtungsweise (der Punkte
als Grössen), welche von der gewöhnlichen gänzlich abweicht. Es
bleibt uns daher jetzt noch besonders übrig, für die in diesem
Kapitel dargestellten Gesetze jene Differenz auszugleichen. Wir
knüpfen diese Betrachtung an die allgemeine Verwandtschaft der
Affinität, und nennen zunächst die entsprechenden Systeme zweier
affiner Vereine, lineär verwandt, und zwar wenn jene Vereine di-
rekt affin sind, so nennen wir die Vereine ihrer Systeme kollinear
verwandt, und wenn sie reciprok affin sind, reciprok verwandt;
oder um diese Begriffe sogleich auf die Geometrie zu übertragen,
wenn zwei Vereine von Grössen (Elementargrössen, Liniengrössen,
Plangrössen) in direkter oder reciproker Affinität stehen, so nen-
nen wir die Vereine der ihnen zugehörigen Systeme (Punkte, Li-
nien, Ebenen) kollinear oder reciprok verwandt. Wir haben nun
nachzuweisen, dass diese Begriffe mit den sonst unter den aufge-
führten Namen verstandenen Begriffen zusammen fallen. Möbius,
der Begründer dieser allgemeinen Verwandtschaftstheorie, stellt als
den Begriff der Kollineation auf *), dass bei zwei ebenen oder kör-
perlichen Räumen, welche in dieser Verwandtschaft stehen, jedem
Punkte des einen Raumes ein Punkt in dem andern Raume derge-
stalt entspricht, dass wenn man in dem einen Raume eine belie-
bige Gerade zieht, von allen Punkten, welche von dieser Geraden
getroffen werden, die entsprechenden Punkte des andern Raumes
gleichfalls durch eine Gerade verbunden werden können. Hieraus
folgt vermöge der in den vorigen Paragraphen dargelegten Gesetze,
dass in der That die Systeme, welche den entsprechenden Grössen
zweier direkt affiner Vereine zugehören, zwei kollineare Vereine
in dem von Möbins dargestellten Sinne bilden; aber auch umge-
kehrt lässt sich zeigen, dass, wenn zwei Räume in diesem Sinne
als kollinear verwandt erscheinen, die entsprechenden Punkte auch
mit solchen Gewichten behaftet werden können, dass die Vereine
*) in seinem barycentrischen Kalkül § 217.
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| Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 247. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/283>, abgerufen am 13.05.2024. |
