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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Verwandtschaftsbeziehungen. § 159--160

Als unmittelbare Folgerung aus diesem Satze geht hervor, "dass
von zwei affinen Vereinen dann und nur dann der eine als Abschat-
tung des andern erscheint, wenn in dem gemeinschaftlichen Systeme
beider Vereine je zwei entsprechende Grössen zusammenfallen, und
dass dann jeder von beiden Vereinen als Abschattung des andern
aufgefasst werden kann."

§ 159. Um die gewonnenen Resultate durch geometrische
Anschauungen zu verdeutlichen, wird es genügen, affine Vereine
beiderlei Art in der Ebene zu betrachten. Es ist klar, wie man
dann zu drei nicht in gerader Linie liegenden Punktgrössen (die
aber auch in Strecken übergehen können) drei beliebige ebenfalls
nicht in gerader Linie liegende Punktgrössen als entsprechende an-
nehmen, und daraus zwei einander direkt affine Vereine ableiten
kann, indem man die aus jenen entsprechenden Grössen auf glei-
che Weise gebildeten Vielfachensummen, oder deren auf gleiche
Weise gebildeten Produkte als entsprechende Grössen setzt. Eben so
erhält man zwei reciprok affine Vereine, wenn man zu drei Ele-
mentargrössen erster Stufe, die nicht in gerader Linie liegen, drei
Liniengrössen, deren Linien ein Dreieck begränzen, als entspre-
chende annimmt, und ausserdem je zwei durch dieselben Grund-
verknüpfungen aus ihnen erzeugten Grössen als entsprechende setzt.
Es ist aus dem Früheren klar, wie im ersten Falle dreien Punktgrös-
sen des einen Vereins, die in gerader Linie liegen, auch drei des
andern entsprechen, die gleichfalls in gerader Linie liegen, und
eben so dreien Liniengrössen des einen, die durch Einen Punkt gehen,
drei des andern entsprechen, welche gleichfalls durch Einen Punkt
gehen; wie ferner im zweiten Falle dreien Punktgrössen des einen
Vereins, die in Einer geraden Linie liegen, drei Liniengrössen des
andern entsprechen, die durch Einen Punkt gehen und umgekehrt.
Dabei ist jedoch festzuhalten, dass die Punktgrössen auch in Stre-
cken, die Liniengrössen in Flächenräume umschlagen können.

§ 160. Unsere bisherige Betrachtungsweise unterscheidet sich
von der gewöhnlichen geometrischen Anschauungsweise dadurch,
dass wir die Punkte nicht für sich, sondern behaftet mit gewissen
Zahlenkoefficienten, die wir Gewichte nannten, auffassten; und dies
war nothwendig, damit sie eben als Grössen erscheinen konnten.
Der Punkt selbst erschien entweder als solche Grösse mit dem

Verwandtschaftsbeziehungen. § 159—160

Als unmittelbare Folgerung aus diesem Satze geht hervor, „dass
von zwei affinen Vereinen dann und nur dann der eine als Abschat-
tung des andern erscheint, wenn in dem gemeinschaftlichen Systeme
beider Vereine je zwei entsprechende Grössen zusammenfallen, und
dass dann jeder von beiden Vereinen als Abschattung des andern
aufgefasst werden kann.“

§ 159. Um die gewonnenen Resultate durch geometrische
Anschauungen zu verdeutlichen, wird es genügen, affine Vereine
beiderlei Art in der Ebene zu betrachten. Es ist klar, wie man
dann zu drei nicht in gerader Linie liegenden Punktgrössen (die
aber auch in Strecken übergehen können) drei beliebige ebenfalls
nicht in gerader Linie liegende Punktgrössen als entsprechende an-
nehmen, und daraus zwei einander direkt affine Vereine ableiten
kann, indem man die aus jenen entsprechenden Grössen auf glei-
che Weise gebildeten Vielfachensummen, oder deren auf gleiche
Weise gebildeten Produkte als entsprechende Grössen setzt. Eben so
erhält man zwei reciprok affine Vereine, wenn man zu drei Ele-
mentargrössen erster Stufe, die nicht in gerader Linie liegen, drei
Liniengrössen, deren Linien ein Dreieck begränzen, als entspre-
chende annimmt, und ausserdem je zwei durch dieselben Grund-
verknüpfungen aus ihnen erzeugten Grössen als entsprechende setzt.
Es ist aus dem Früheren klar, wie im ersten Falle dreien Punktgrös-
sen des einen Vereins, die in gerader Linie liegen, auch drei des
andern entsprechen, die gleichfalls in gerader Linie liegen, und
eben so dreien Liniengrössen des einen, die durch Einen Punkt gehen,
drei des andern entsprechen, welche gleichfalls durch Einen Punkt
gehen; wie ferner im zweiten Falle dreien Punktgrössen des einen
Vereins, die in Einer geraden Linie liegen, drei Liniengrössen des
andern entsprechen, die durch Einen Punkt gehen und umgekehrt.
Dabei ist jedoch festzuhalten, dass die Punktgrössen auch in Stre-
cken, die Liniengrössen in Flächenräume umschlagen können.

§ 160. Unsere bisherige Betrachtungsweise unterscheidet sich
von der gewöhnlichen geometrischen Anschauungsweise dadurch,
dass wir die Punkte nicht für sich, sondern behaftet mit gewissen
Zahlenkoefficienten, die wir Gewichte nannten, auffassten; und dies
war nothwendig, damit sie eben als Grössen erscheinen konnten.
Der Punkt selbst erschien entweder als solche Grösse mit dem

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[246/0282] Verwandtschaftsbeziehungen. § 159—160 Als unmittelbare Folgerung aus diesem Satze geht hervor, „dass von zwei affinen Vereinen dann und nur dann der eine als Abschat- tung des andern erscheint, wenn in dem gemeinschaftlichen Systeme beider Vereine je zwei entsprechende Grössen zusammenfallen, und dass dann jeder von beiden Vereinen als Abschattung des andern aufgefasst werden kann.“ § 159. Um die gewonnenen Resultate durch geometrische Anschauungen zu verdeutlichen, wird es genügen, affine Vereine beiderlei Art in der Ebene zu betrachten. Es ist klar, wie man dann zu drei nicht in gerader Linie liegenden Punktgrössen (die aber auch in Strecken übergehen können) drei beliebige ebenfalls nicht in gerader Linie liegende Punktgrössen als entsprechende an- nehmen, und daraus zwei einander direkt affine Vereine ableiten kann, indem man die aus jenen entsprechenden Grössen auf glei- che Weise gebildeten Vielfachensummen, oder deren auf gleiche Weise gebildeten Produkte als entsprechende Grössen setzt. Eben so erhält man zwei reciprok affine Vereine, wenn man zu drei Ele- mentargrössen erster Stufe, die nicht in gerader Linie liegen, drei Liniengrössen, deren Linien ein Dreieck begränzen, als entspre- chende annimmt, und ausserdem je zwei durch dieselben Grund- verknüpfungen aus ihnen erzeugten Grössen als entsprechende setzt. Es ist aus dem Früheren klar, wie im ersten Falle dreien Punktgrös- sen des einen Vereins, die in gerader Linie liegen, auch drei des andern entsprechen, die gleichfalls in gerader Linie liegen, und eben so dreien Liniengrössen des einen, die durch Einen Punkt gehen, drei des andern entsprechen, welche gleichfalls durch Einen Punkt gehen; wie ferner im zweiten Falle dreien Punktgrössen des einen Vereins, die in Einer geraden Linie liegen, drei Liniengrössen des andern entsprechen, die durch Einen Punkt gehen und umgekehrt. Dabei ist jedoch festzuhalten, dass die Punktgrössen auch in Stre- cken, die Liniengrössen in Flächenräume umschlagen können. § 160. Unsere bisherige Betrachtungsweise unterscheidet sich von der gewöhnlichen geometrischen Anschauungsweise dadurch, dass wir die Punkte nicht für sich, sondern behaftet mit gewissen Zahlenkoefficienten, die wir Gewichte nannten, auffassten; und dies war nothwendig, damit sie eben als Grössen erscheinen konnten. Der Punkt selbst erschien entweder als solche Grösse mit dem

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 246. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/282>, abgerufen am 16.02.2025.