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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Verwandtschaftsbeziehungen. § 156
der aus den Faktoren A1 .... An gebildeten Produkte erscheinen.
Sind nun in dem andern Vereine A'1 .... A'n als die den Grössen
A1 .... An entsprechenden angenommen, und werden als die ihren
Produkten A1 A2 A3, etc. entsprechenden Grössen die Produkte
der entsprechenden Faktoren A'1 A'2 A'3 angenommen (was ver-
stattet ist, da zwischen jenen Produkten des ersten Vereins keine
Zahlenrelation statt findet), so wird dem Produkte P . Q . R das
Produkt P' . Q' . R' der entsprechenden Faktoren gleichfalls entsprechen.
Denn man erhält aus P . Q . R das Produkt P' . Q' . R', wenn man, nach-
dem P, Q, R als Vielfachensummen von A1 .... An dargestellt sind,
statt A1 ... An die entsprechenden Grössen A'1 ... A'n setzt. Das
Gesetz des Durchmultiplicirens ist nun für beide Produkte dasselbe,
jedes Produkt ferner zwischen A1 .... An, was gleiche Faktoren
enthält und somit null wird, hat auch zum entsprechenden Produkte
ein solches, was null wird; und darin liegt, dass auch dasselbe
Vertauschungsgesetz herrscht, indem (A + B) (A + B) oder AB+BA
in beiden Fällen null ist, also die Faktoren nur mit Zeichenwechsel
vertauschbar sind. Daraus nun folgt, dass, wenn PQR als Viel-
fachensumme der aus den Faktoren A1 ... An gebildeten Produkte
erscheint, man daraus P'Q'R' erhält, indem man statt A1 ... An die
entsprechenden Grössen A'1 ... A'n, oder statt der aus den ersteren
gebildeten Produkte die aus den letzteren gebildeten setzt. Hierin
liegt nun vermittelst des obigen Gesetzes, dass die Produkte des
zweiten Vereins in derselben Zahlenrelation stehen, wie die ent-
sprechenden des ersten, und dass also, wenn die beiden Vereine
einander affin sind, auch die Produkte des einen Vereins den ent-
sprechenden des andern affin sind.

§ 156. Es giebt unter den bisher betrachteten Multiplika-
tionsweisen nur zwei, welche der im vorigen Paragraphen ausge-
sprochenen Bedingung genügen, dass nämlich das Produkt dann
und nur dann als null erscheinen soll, wenn zwischen den Fakto-
ren eine Zahlenrelation herrscht, das sind nämlich erstens die äus-
sere Multiplikation von Grössen erster Stufe und zweitens die ein-
gewandte Multiplikation von Grössen (n -- 1)ter Stufe in einem
Hauptsysteme n-ter Stufe und in Bezug auf dasselbe. Dass die
übrigen Multiplikationsweisen, welche wir bisher kennen gelernt
haben, nicht den Bedingungen des vorigen § genügen, leuchtet sehr

Verwandtschaftsbeziehungen. § 156
der aus den Faktoren A1 .... An gebildeten Produkte erscheinen.
Sind nun in dem andern Vereine A′1 .... A′n als die den Grössen
A1 .... An entsprechenden angenommen, und werden als die ihren
Produkten A1 A2 A3, etc. entsprechenden Grössen die Produkte
der entsprechenden Faktoren A′1 A′2 A′3 angenommen (was ver-
stattet ist, da zwischen jenen Produkten des ersten Vereins keine
Zahlenrelation statt findet), so wird dem Produkte P . Q . R das
Produkt P′ . Q′ . R′ der entsprechenden Faktoren gleichfalls entsprechen.
Denn man erhält aus P . Q . R das Produkt P′ . Q′ . R′, wenn man, nach-
dem P, Q, R als Vielfachensummen von A1 .... An dargestellt sind,
statt A1 ... An die entsprechenden Grössen A′1 ... A′n setzt. Das
Gesetz des Durchmultiplicirens ist nun für beide Produkte dasselbe,
jedes Produkt ferner zwischen A1 .... An, was gleiche Faktoren
enthält und somit null wird, hat auch zum entsprechenden Produkte
ein solches, was null wird; und darin liegt, dass auch dasselbe
Vertauschungsgesetz herrscht, indem (A + B) (A + B) oder AB+BA
in beiden Fällen null ist, also die Faktoren nur mit Zeichenwechsel
vertauschbar sind. Daraus nun folgt, dass, wenn PQR als Viel-
fachensumme der aus den Faktoren A1 ... An gebildeten Produkte
erscheint, man daraus P′Q′R′ erhält, indem man statt A1 ... An die
entsprechenden Grössen A′1 ... A′n, oder statt der aus den ersteren
gebildeten Produkte die aus den letzteren gebildeten setzt. Hierin
liegt nun vermittelst des obigen Gesetzes, dass die Produkte des
zweiten Vereins in derselben Zahlenrelation stehen, wie die ent-
sprechenden des ersten, und dass also, wenn die beiden Vereine
einander affin sind, auch die Produkte des einen Vereins den ent-
sprechenden des andern affin sind.

§ 156. Es giebt unter den bisher betrachteten Multiplika-
tionsweisen nur zwei, welche der im vorigen Paragraphen ausge-
sprochenen Bedingung genügen, dass nämlich das Produkt dann
und nur dann als null erscheinen soll, wenn zwischen den Fakto-
ren eine Zahlenrelation herrscht, das sind nämlich erstens die äus-
sere Multiplikation von Grössen erster Stufe und zweitens die ein-
gewandte Multiplikation von Grössen (n — 1)ter Stufe in einem
Hauptsysteme n-ter Stufe und in Bezug auf dasselbe. Dass die
übrigen Multiplikationsweisen, welche wir bisher kennen gelernt
haben, nicht den Bedingungen des vorigen § genügen, leuchtet sehr

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[242/0278] Verwandtschaftsbeziehungen. § 156 der aus den Faktoren A1 .... An gebildeten Produkte erscheinen. Sind nun in dem andern Vereine A′1 .... A′n als die den Grössen A1 .... An entsprechenden angenommen, und werden als die ihren Produkten A1 A2 A3, etc. entsprechenden Grössen die Produkte der entsprechenden Faktoren A′1 A′2 A′3 angenommen (was ver- stattet ist, da zwischen jenen Produkten des ersten Vereins keine Zahlenrelation statt findet), so wird dem Produkte P . Q . R das Produkt P′ . Q′ . R′ der entsprechenden Faktoren gleichfalls entsprechen. Denn man erhält aus P . Q . R das Produkt P′ . Q′ . R′, wenn man, nach- dem P, Q, R als Vielfachensummen von A1 .... An dargestellt sind, statt A1 ... An die entsprechenden Grössen A′1 ... A′n setzt. Das Gesetz des Durchmultiplicirens ist nun für beide Produkte dasselbe, jedes Produkt ferner zwischen A1 .... An, was gleiche Faktoren enthält und somit null wird, hat auch zum entsprechenden Produkte ein solches, was null wird; und darin liegt, dass auch dasselbe Vertauschungsgesetz herrscht, indem (A + B) (A + B) oder AB+BA in beiden Fällen null ist, also die Faktoren nur mit Zeichenwechsel vertauschbar sind. Daraus nun folgt, dass, wenn PQR als Viel- fachensumme der aus den Faktoren A1 ... An gebildeten Produkte erscheint, man daraus P′Q′R′ erhält, indem man statt A1 ... An die entsprechenden Grössen A′1 ... A′n, oder statt der aus den ersteren gebildeten Produkte die aus den letzteren gebildeten setzt. Hierin liegt nun vermittelst des obigen Gesetzes, dass die Produkte des zweiten Vereins in derselben Zahlenrelation stehen, wie die ent- sprechenden des ersten, und dass also, wenn die beiden Vereine einander affin sind, auch die Produkte des einen Vereins den ent- sprechenden des andern affin sind. § 156. Es giebt unter den bisher betrachteten Multiplika- tionsweisen nur zwei, welche der im vorigen Paragraphen ausge- sprochenen Bedingung genügen, dass nämlich das Produkt dann und nur dann als null erscheinen soll, wenn zwischen den Fakto- ren eine Zahlenrelation herrscht, das sind nämlich erstens die äus- sere Multiplikation von Grössen erster Stufe und zweitens die ein- gewandte Multiplikation von Grössen (n — 1)ter Stufe in einem Hauptsysteme n-ter Stufe und in Bezug auf dasselbe. Dass die übrigen Multiplikationsweisen, welche wir bisher kennen gelernt haben, nicht den Bedingungen des vorigen § genügen, leuchtet sehr

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 242. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/278>, abgerufen am 12.05.2024.