lenrelation, so ist klar, dass man, da diese Relation zwischen den entsprechenden Grössen des ersten Vereins nicht statt findet, auch nicht von dem Herrschen einer Relation innerhalb des zweiten Vereins einen Schluss auf das Fortbestehen derselben im ersten machen darf, dass vielmehr die Beziehung dann nur eine einsei- tige ist.
§ 155. Wenn nun zwei Vereine entsprechender Grössen ein- ander affin sind, so werden auch die Produkte aus den Grössen des einen Vereins den entsprechend gebildeten Produkten des an- dern Vereins affin sein, wenn nur die Multiplikationsweise, durch welche diese entsprechenden Produkte gebildet sind, in beiden Ver- einen in dem Sinne genommen ist, dass das Produkt dann, aber auch nur dann als null erscheint, wenn die Faktoren in einer Zah- lenrelation zu einander stehen. Ist nämlich die Multiplikation in dieser Weise angenommen, so kann zuerst zwischen den verschie- denen Produkten, welche sich aus den n Grössen A1 ..... An des einen Vereins, die in keiner Zahlenrelation zu einander standen, bilden lassen, gleichfalls keine Zahlenrelation statt finden; d. h. es kann keins dieser Produkte sich als Vielfachensumme der übrigen darstellen lassen. Denn gesetzt es wäre dies der Fall, so könnte man in der Gleichung, welche jenes Produkt z. B. A1 A2 A3 als Vielfachensumme der übrigen darstellt, jedes Glied mit den sämmt- Faktoren A4 ... An multipliciren, die jenes Produkt nicht enthält; durch diese Multiplikation werden dann alle übrigen Produkte mit Ausnahme dessen, was als Vielfachensumme der übrigen erscheinen soll, null, weil in ihnen wenigstens einer von den hinzutretenden Faktoren schon unter den vorhandenen Faktoren vorkommt, also nun zwischen den Faktoren Gleichheit, also auch eine Zahlenrela- tion statt findet; man erhält daher die Gleichung
[Formel 1]
, d. h. zwischen A1 .... An würde eine Zahlenrelation statt finden müssen, was wider die Voraussetzung ist. Betrachtet man nun fer- ner ein Produkt P . Q . R, dessen Faktoren Grössen jenes Vereins, also als Vielfachensummen von A1 .... An darstellbar sind, so wird auch dies Produkt, wenn man die einzelnen Faktoren als Viel- fachensummen darstellt, gliedweise durchmultiplicirt und die Fak- toren der einzelnen Glieder gehörig ordnet, als Vielfachensumme
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§ 155 Erzeugung affiner Vereine.
lenrelation, so ist klar, dass man, da diese Relation zwischen den entsprechenden Grössen des ersten Vereins nicht statt findet, auch nicht von dem Herrschen einer Relation innerhalb des zweiten Vereins einen Schluss auf das Fortbestehen derselben im ersten machen darf, dass vielmehr die Beziehung dann nur eine einsei- tige ist.
§ 155. Wenn nun zwei Vereine entsprechender Grössen ein- ander affin sind, so werden auch die Produkte aus den Grössen des einen Vereins den entsprechend gebildeten Produkten des an- dern Vereins affin sein, wenn nur die Multiplikationsweise, durch welche diese entsprechenden Produkte gebildet sind, in beiden Ver- einen in dem Sinne genommen ist, dass das Produkt dann, aber auch nur dann als null erscheint, wenn die Faktoren in einer Zah- lenrelation zu einander stehen. Ist nämlich die Multiplikation in dieser Weise angenommen, so kann zuerst zwischen den verschie- denen Produkten, welche sich aus den n Grössen A1 ..... An des einen Vereins, die in keiner Zahlenrelation zu einander standen, bilden lassen, gleichfalls keine Zahlenrelation statt finden; d. h. es kann keins dieser Produkte sich als Vielfachensumme der übrigen darstellen lassen. Denn gesetzt es wäre dies der Fall, so könnte man in der Gleichung, welche jenes Produkt z. B. A1 A2 A3 als Vielfachensumme der übrigen darstellt, jedes Glied mit den sämmt- Faktoren A4 ... An multipliciren, die jenes Produkt nicht enthält; durch diese Multiplikation werden dann alle übrigen Produkte mit Ausnahme dessen, was als Vielfachensumme der übrigen erscheinen soll, null, weil in ihnen wenigstens einer von den hinzutretenden Faktoren schon unter den vorhandenen Faktoren vorkommt, also nun zwischen den Faktoren Gleichheit, also auch eine Zahlenrela- tion statt findet; man erhält daher die Gleichung
[Formel 1]
, d. h. zwischen A1 .... An würde eine Zahlenrelation statt finden müssen, was wider die Voraussetzung ist. Betrachtet man nun fer- ner ein Produkt P . Q . R, dessen Faktoren Grössen jenes Vereins, also als Vielfachensummen von A1 .... An darstellbar sind, so wird auch dies Produkt, wenn man die einzelnen Faktoren als Viel- fachensummen darstellt, gliedweise durchmultiplicirt und die Fak- toren der einzelnen Glieder gehörig ordnet, als Vielfachensumme
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§ 155 Erzeugung affiner Vereine.
lenrelation, so ist klar, dass man, da diese Relation zwischen den
entsprechenden Grössen des ersten Vereins nicht statt findet, auch
nicht von dem Herrschen einer Relation innerhalb des zweiten
Vereins einen Schluss auf das Fortbestehen derselben im ersten
machen darf, dass vielmehr die Beziehung dann nur eine einsei-
tige ist.
§ 155. Wenn nun zwei Vereine entsprechender Grössen ein-
ander affin sind, so werden auch die Produkte aus den Grössen
des einen Vereins den entsprechend gebildeten Produkten des an-
dern Vereins affin sein, wenn nur die Multiplikationsweise, durch
welche diese entsprechenden Produkte gebildet sind, in beiden Ver-
einen in dem Sinne genommen ist, dass das Produkt dann, aber
auch nur dann als null erscheint, wenn die Faktoren in einer Zah-
lenrelation zu einander stehen. Ist nämlich die Multiplikation in
dieser Weise angenommen, so kann zuerst zwischen den verschie-
denen Produkten, welche sich aus den n Grössen A1 ..... An des
einen Vereins, die in keiner Zahlenrelation zu einander standen,
bilden lassen, gleichfalls keine Zahlenrelation statt finden; d. h. es
kann keins dieser Produkte sich als Vielfachensumme der übrigen
darstellen lassen. Denn gesetzt es wäre dies der Fall, so könnte
man in der Gleichung, welche jenes Produkt z. B. A1 A2 A3 als
Vielfachensumme der übrigen darstellt, jedes Glied mit den sämmt-
Faktoren A4 ... An multipliciren, die jenes Produkt nicht enthält;
durch diese Multiplikation werden dann alle übrigen Produkte mit
Ausnahme dessen, was als Vielfachensumme der übrigen erscheinen
soll, null, weil in ihnen wenigstens einer von den hinzutretenden
Faktoren schon unter den vorhandenen Faktoren vorkommt, also
nun zwischen den Faktoren Gleichheit, also auch eine Zahlenrela-
tion statt findet; man erhält daher die Gleichung
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d. h. zwischen A1 .... An würde eine Zahlenrelation statt finden
müssen, was wider die Voraussetzung ist. Betrachtet man nun fer-
ner ein Produkt P . Q . R, dessen Faktoren Grössen jenes Vereins,
also als Vielfachensummen von A1 .... An darstellbar sind, so wird
auch dies Produkt, wenn man die einzelnen Faktoren als Viel-
fachensummen darstellt, gliedweise durchmultiplicirt und die Fak-
toren der einzelnen Glieder gehörig ordnet, als Vielfachensumme
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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 241. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/277>, abgerufen am 13.05.2024.
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