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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Verwandtschaftsbeziehungen. § 154
dieser Behauptung beruht darauf, dass, wenn n Grössen in keiner
Zahlenrelation stehen, d. h. keine derselben sich als Vielfachen-
summe der übrigen darstellen lässt, und dennoch eine Vielfachen-
summe dieser Grössen gleich null sein soll, nothwendig alle Koef-
ficienten dieser Vielfachensumme einzeln genommen gleich null
sein müssen; denn hätte einer von ihnen einen geltenden Werth,
so würde die Grösse, der er zugehört, sich als Vielfachensumme
der übrigen darstellen lassen, was gegen die Voraussetzung ist.
Aus diesem Satze nun ergiebt sich die Richtigkeit der obigen Be-
hauptung sogleich. Denn sind a, b, c ... irgend welche Grössen
des ersten Vereins, zwischen denen eine Zahlenrelation
[Formel 1] statt findet, und man drückt a, b, .... als Vielfachensumme jener
n Grössen des ersten Vereins r1 ..... rn aus, so wird sich jene
Gleichung in der Form
[Formel 2] darstellen lassen, in welcher nach dem so eben erwiesenen Satze
alle Koefficienten null sein müssen; also
[Formel 3] Diese Grössen r1, r2, ..... sind nur von den Koefficienten a, b,....
und von den Koefficienten der Vielfachensumme, in welcher a, b,....
dargestellt sind, abhängig. Sind nun a', b' ..... und r'1, r'2, .....
die entsprechenden Grössen des zweiten Vereins, so müssen a',
b', ..... aus a, b,... dadurch hervorgehen, dass man in den Viel
fachensummen, welche a, b ... darstellen, statt r1, r2,... die ent-
sprechenden Grössen r'1, r'2, .... setzt. Folglich wird der Ausdruck
[Formel 4] sein, und also da r1, r2, .... einzeln genommen null sind, selbst
gleich null sein müssen, also
[Formel 5] d. h. zwischen den Grössen des zweiten Vereins bleibt jede Zahlen-
relation bestehen, welche zwischen denen des ersten besteht. Sind
nun die Grössen r'1 ... r'n gleichfalls von der Beschaffenheit, dass
zwischen ihnen keine Zahlenrelation statt findet, so lässt sich ebenso
der Rückschluss machen, die Beziehung ist also dann eine gegen-
seitige, und die beiden Vereine von Grössen sind einander affin.
Hingegen herrscht zwischen diesen Grössen r'1 .... r'n eine Zah-

Verwandtschaftsbeziehungen. § 154
dieser Behauptung beruht darauf, dass, wenn n Grössen in keiner
Zahlenrelation stehen, d. h. keine derselben sich als Vielfachen-
summe der übrigen darstellen lässt, und dennoch eine Vielfachen-
summe dieser Grössen gleich null sein soll, nothwendig alle Koef-
ficienten dieser Vielfachensumme einzeln genommen gleich null
sein müssen; denn hätte einer von ihnen einen geltenden Werth,
so würde die Grösse, der er zugehört, sich als Vielfachensumme
der übrigen darstellen lassen, was gegen die Voraussetzung ist.
Aus diesem Satze nun ergiebt sich die Richtigkeit der obigen Be-
hauptung sogleich. Denn sind a, b, c ... irgend welche Grössen
des ersten Vereins, zwischen denen eine Zahlenrelation
[Formel 1] statt findet, und man drückt a, b, .... als Vielfachensumme jener
n Grössen des ersten Vereins r1 ..... rn aus, so wird sich jene
Gleichung in der Form
[Formel 2] darstellen lassen, in welcher nach dem so eben erwiesenen Satze
alle Koefficienten null sein müssen; also
[Formel 3] Diese Grössen ϱ1, ϱ2, ..... sind nur von den Koefficienten α, β,....
und von den Koefficienten der Vielfachensumme, in welcher a, b,....
dargestellt sind, abhängig. Sind nun a′, b′ ..... und r′1, r′2, .....
die entsprechenden Grössen des zweiten Vereins, so müssen a′,
b′, ..... aus a, b,... dadurch hervorgehen, dass man in den Viel
fachensummen, welche a, b ... darstellen, statt r1, r2,... die ent-
sprechenden Grössen r′1, r′2, .... setzt. Folglich wird der Ausdruck
[Formel 4] sein, und also da ϱ1, ϱ2, .... einzeln genommen null sind, selbst
gleich null sein müssen, also
[Formel 5] d. h. zwischen den Grössen des zweiten Vereins bleibt jede Zahlen-
relation bestehen, welche zwischen denen des ersten besteht. Sind
nun die Grössen r′1 ... r′n gleichfalls von der Beschaffenheit, dass
zwischen ihnen keine Zahlenrelation statt findet, so lässt sich ebenso
der Rückschluss machen, die Beziehung ist also dann eine gegen-
seitige, und die beiden Vereine von Grössen sind einander affin.
Hingegen herrscht zwischen diesen Grössen r′1 .... r′n eine Zah-

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[240/0276] Verwandtschaftsbeziehungen. § 154 dieser Behauptung beruht darauf, dass, wenn n Grössen in keiner Zahlenrelation stehen, d. h. keine derselben sich als Vielfachen- summe der übrigen darstellen lässt, und dennoch eine Vielfachen- summe dieser Grössen gleich null sein soll, nothwendig alle Koef- ficienten dieser Vielfachensumme einzeln genommen gleich null sein müssen; denn hätte einer von ihnen einen geltenden Werth, so würde die Grösse, der er zugehört, sich als Vielfachensumme der übrigen darstellen lassen, was gegen die Voraussetzung ist. Aus diesem Satze nun ergiebt sich die Richtigkeit der obigen Be- hauptung sogleich. Denn sind a, b, c ... irgend welche Grössen des ersten Vereins, zwischen denen eine Zahlenrelation [FORMEL] statt findet, und man drückt a, b, .... als Vielfachensumme jener n Grössen des ersten Vereins r1 ..... rn aus, so wird sich jene Gleichung in der Form [FORMEL] darstellen lassen, in welcher nach dem so eben erwiesenen Satze alle Koefficienten null sein müssen; also [FORMEL] Diese Grössen ϱ1, ϱ2, ..... sind nur von den Koefficienten α, β,.... und von den Koefficienten der Vielfachensumme, in welcher a, b,.... dargestellt sind, abhängig. Sind nun a′, b′ ..... und r′1, r′2, ..... die entsprechenden Grössen des zweiten Vereins, so müssen a′, b′, ..... aus a, b,... dadurch hervorgehen, dass man in den Viel fachensummen, welche a, b ... darstellen, statt r1, r2,... die ent- sprechenden Grössen r′1, r′2, .... setzt. Folglich wird der Ausdruck [FORMEL] sein, und also da ϱ1, ϱ2, .... einzeln genommen null sind, selbst gleich null sein müssen, also [FORMEL] d. h. zwischen den Grössen des zweiten Vereins bleibt jede Zahlen- relation bestehen, welche zwischen denen des ersten besteht. Sind nun die Grössen r′1 ... r′n gleichfalls von der Beschaffenheit, dass zwischen ihnen keine Zahlenrelation statt findet, so lässt sich ebenso der Rückschluss machen, die Beziehung ist also dann eine gegen- seitige, und die beiden Vereine von Grössen sind einander affin. Hingegen herrscht zwischen diesen Grössen r′1 .... r′n eine Zah-

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 240. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/276>, abgerufen am 12.05.2024.