Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.§ 154 Affinität. Reihe, welche von beiden es auch sei, statt findet, auch zwischenden Grössen der andern Reihe herrscht; und zwei solche Vereine von entsprechenden Grössen, welche in dieser gegenseitigen Be- ziehung zu einander stehen, nennen wir affin *). Diese Gegensei- tigkeit der Beziehung führt das Gesetz herbei, welches überall jede einfache Beziehung auszeichnet, dass nämlich, wenn zwei Vereine von Grössen A und B mit einem dritten C affin sind, sie es auch unter sich sind. In der That, da dann jede Relation in A auch in C statt findet, und jede Relation, die in C statt findet, auch in B herrscht, so muss auch jede Relation in A zugleich in B statt fin- den, und aus demselben Grunde jede Relation, die in B herrscht, zugleich in A statt finden, d. h. A und B sind einander affin. -- Es fragt sich nun, wie man zu einem beliebigen Vereine von Grös- sen überhaupt einen andern Verein bilden kann, welcher mit jenem in derselben Zahlenrelation stehe, und ins Besondere einen sol- chen, bei welchem diese Beziehung eine gegenseitige ist, d. h. welcher dem ersteren affin sei. Hat man in dem gegebenen Ver- eine n Grössen (derselben Stufe), zwischen denen keine Zahlen- relation statt findet, als deren Vielfachensummen sich aber die übri- gen Grössen jenes Vereins darstellen lassen, so lässt sich zeigen, dass man, um zu einem zweiten Vereine zu gelangen, welcher die- selben Zahlenrelationen darbietet, die in dem ersten Vereine herr- schen, in dem zweiten Vereine n beliebige Grössen, welche unter sich von gleicher Stufe sind, als jenen n Grössen entsprechende annehmen kann, dann aber zu jeder andern Grösse des ersten Vereins die entsprechende im zweiten findet, indem man die erste als Vielfachensumme jener n Grössen der ersten Reihe darstellt und dann in dieser Vielfachensumme statt jener n Grössen die ent- sprechenden der zweiten setzt, dass aber diese Beziehung nur dann und immer dann eine gegenseitige ist, die Vereine also einander affin sind, wenn zugleich die n Grössen des zweiten Vereins keine Zahlenrelation unter sich zulassen. Die Richtigkeit *) Der Begriff der Affinität, wie wir ihn hier aufstellten, stimmt mit dem
gewöhnlichen Begriff derselben in sofern überein, als er auf dieselben Grössen angewandt, auch dieselbe Beziehung darstellt; ihr Begriff ist hier nur in sofern allgemeiner gefasst, als er sich auch auf andere Grössen übertragen lässt. § 154 Affinität. Reihe, welche von beiden es auch sei, statt findet, auch zwischenden Grössen der andern Reihe herrscht; und zwei solche Vereine von entsprechenden Grössen, welche in dieser gegenseitigen Be- ziehung zu einander stehen, nennen wir affin *). Diese Gegensei- tigkeit der Beziehung führt das Gesetz herbei, welches überall jede einfache Beziehung auszeichnet, dass nämlich, wenn zwei Vereine von Grössen A und B mit einem dritten C affin sind, sie es auch unter sich sind. In der That, da dann jede Relation in A auch in C statt findet, und jede Relation, die in C statt findet, auch in B herrscht, so muss auch jede Relation in A zugleich in B statt fin- den, und aus demselben Grunde jede Relation, die in B herrscht, zugleich in A statt finden, d. h. A und B sind einander affin. — Es fragt sich nun, wie man zu einem beliebigen Vereine von Grös- sen überhaupt einen andern Verein bilden kann, welcher mit jenem in derselben Zahlenrelation stehe, und ins Besondere einen sol- chen, bei welchem diese Beziehung eine gegenseitige ist, d. h. welcher dem ersteren affin sei. Hat man in dem gegebenen Ver- eine n Grössen (derselben Stufe), zwischen denen keine Zahlen- relation statt findet, als deren Vielfachensummen sich aber die übri- gen Grössen jenes Vereins darstellen lassen, so lässt sich zeigen, dass man, um zu einem zweiten Vereine zu gelangen, welcher die- selben Zahlenrelationen darbietet, die in dem ersten Vereine herr- schen, in dem zweiten Vereine n beliebige Grössen, welche unter sich von gleicher Stufe sind, als jenen n Grössen entsprechende annehmen kann, dann aber zu jeder andern Grösse des ersten Vereins die entsprechende im zweiten findet, indem man die erste als Vielfachensumme jener n Grössen der ersten Reihe darstellt und dann in dieser Vielfachensumme statt jener n Grössen die ent- sprechenden der zweiten setzt, dass aber diese Beziehung nur dann und immer dann eine gegenseitige ist, die Vereine also einander affin sind, wenn zugleich die n Grössen des zweiten Vereins keine Zahlenrelation unter sich zulassen. Die Richtigkeit *) Der Begriff der Affinität, wie wir ihn hier aufstellten, stimmt mit dem
gewöhnlichen Begriff derselben in sofern überein, als er auf dieselben Grössen angewandt, auch dieselbe Beziehung darstellt; ihr Begriff ist hier nur in sofern allgemeiner gefasst, als er sich auch auf andere Grössen übertragen lässt. <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0275" n="239"/><fw place="top" type="header">§ 154 Affinität.</fw><lb/> Reihe, welche von beiden es auch sei, statt findet, auch zwischen<lb/> den Grössen der andern Reihe herrscht; und zwei solche Vereine<lb/> von entsprechenden Grössen, welche in dieser gegenseitigen Be-<lb/> ziehung zu einander stehen, nennen wir <hi rendition="#g">affin</hi> <note place="foot" n="*)">Der Begriff der Affinität, wie wir ihn hier aufstellten, stimmt mit dem<lb/> gewöhnlichen Begriff derselben in sofern überein, als er auf dieselben Grössen<lb/> angewandt, auch dieselbe Beziehung darstellt; ihr Begriff ist hier nur in sofern<lb/> allgemeiner gefasst, als er sich auch auf andere Grössen übertragen lässt.</note>. Diese Gegensei-<lb/> tigkeit der Beziehung führt das Gesetz herbei, welches überall jede<lb/> einfache Beziehung auszeichnet, dass nämlich, wenn zwei Vereine<lb/> von Grössen A und B mit einem dritten C affin sind, sie es auch<lb/> unter sich sind. In der That, da dann jede Relation in A auch in<lb/> C statt findet, und jede Relation, die in C statt findet, auch in B<lb/> herrscht, so muss auch jede Relation in A zugleich in B statt fin-<lb/> den, und aus demselben Grunde jede Relation, die in B herrscht,<lb/> zugleich in A statt finden, d. h. A und B sind einander affin. —<lb/> Es fragt sich nun, wie man zu einem beliebigen Vereine von Grös-<lb/> sen überhaupt einen andern Verein bilden kann, welcher mit jenem<lb/> in derselben Zahlenrelation stehe, und ins Besondere einen sol-<lb/> chen, bei welchem diese Beziehung eine gegenseitige ist, d. h.<lb/> welcher dem ersteren affin sei. Hat man in dem gegebenen Ver-<lb/> eine n Grössen (derselben Stufe), zwischen denen keine Zahlen-<lb/> relation statt findet, als deren Vielfachensummen sich aber die übri-<lb/> gen Grössen jenes Vereins darstellen lassen, so lässt sich zeigen,<lb/> dass man, um zu einem zweiten Vereine zu gelangen, welcher die-<lb/> selben Zahlenrelationen darbietet, die in dem ersten Vereine herr-<lb/> schen, in dem zweiten Vereine n beliebige Grössen, welche unter<lb/> sich von gleicher Stufe sind, als jenen n Grössen entsprechende<lb/> annehmen kann, dann aber zu jeder andern Grösse des ersten<lb/> Vereins die entsprechende im zweiten findet, indem man die erste<lb/> als Vielfachensumme jener n Grössen der ersten Reihe darstellt<lb/> und dann in dieser Vielfachensumme statt jener n Grössen die ent-<lb/> sprechenden der zweiten setzt, dass aber diese Beziehung <hi rendition="#g">nur</hi><lb/> dann und <hi rendition="#g">immer</hi> dann eine gegenseitige ist, die Vereine also<lb/> einander affin sind, wenn zugleich die n Grössen des zweiten<lb/> Vereins keine Zahlenrelation unter sich zulassen. Die Richtigkeit<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [239/0275]
§ 154 Affinität.
Reihe, welche von beiden es auch sei, statt findet, auch zwischen
den Grössen der andern Reihe herrscht; und zwei solche Vereine
von entsprechenden Grössen, welche in dieser gegenseitigen Be-
ziehung zu einander stehen, nennen wir affin *). Diese Gegensei-
tigkeit der Beziehung führt das Gesetz herbei, welches überall jede
einfache Beziehung auszeichnet, dass nämlich, wenn zwei Vereine
von Grössen A und B mit einem dritten C affin sind, sie es auch
unter sich sind. In der That, da dann jede Relation in A auch in
C statt findet, und jede Relation, die in C statt findet, auch in B
herrscht, so muss auch jede Relation in A zugleich in B statt fin-
den, und aus demselben Grunde jede Relation, die in B herrscht,
zugleich in A statt finden, d. h. A und B sind einander affin. —
Es fragt sich nun, wie man zu einem beliebigen Vereine von Grös-
sen überhaupt einen andern Verein bilden kann, welcher mit jenem
in derselben Zahlenrelation stehe, und ins Besondere einen sol-
chen, bei welchem diese Beziehung eine gegenseitige ist, d. h.
welcher dem ersteren affin sei. Hat man in dem gegebenen Ver-
eine n Grössen (derselben Stufe), zwischen denen keine Zahlen-
relation statt findet, als deren Vielfachensummen sich aber die übri-
gen Grössen jenes Vereins darstellen lassen, so lässt sich zeigen,
dass man, um zu einem zweiten Vereine zu gelangen, welcher die-
selben Zahlenrelationen darbietet, die in dem ersten Vereine herr-
schen, in dem zweiten Vereine n beliebige Grössen, welche unter
sich von gleicher Stufe sind, als jenen n Grössen entsprechende
annehmen kann, dann aber zu jeder andern Grösse des ersten
Vereins die entsprechende im zweiten findet, indem man die erste
als Vielfachensumme jener n Grössen der ersten Reihe darstellt
und dann in dieser Vielfachensumme statt jener n Grössen die ent-
sprechenden der zweiten setzt, dass aber diese Beziehung nur
dann und immer dann eine gegenseitige ist, die Vereine also
einander affin sind, wenn zugleich die n Grössen des zweiten
Vereins keine Zahlenrelation unter sich zulassen. Die Richtigkeit
*) Der Begriff der Affinität, wie wir ihn hier aufstellten, stimmt mit dem
gewöhnlichen Begriff derselben in sofern überein, als er auf dieselben Grössen
angewandt, auch dieselbe Beziehung darstellt; ihr Begriff ist hier nur in sofern
allgemeiner gefasst, als er sich auch auf andere Grössen übertragen lässt.
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Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 239. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/275>, abgerufen am 15.08.2024. |