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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Verwandtschaftsbeziehungen. § 154
darstellen lassen. Dies Produkt ist nun nach § 138 gleich Km+nM . N
oder, wenn M . N gleich K . I ist, gleich Km + nK.I. Bezeichnen wir
die Abschattungen mit Accenten und nehmen dieselben entweder
durchweg als äussere oder durchweg als eingewandte an, so ist die
Abschattung des obigen Produktes
[Formel 1] d. h. gleich dem Produkte der Abschattungen. Also gilt nun das
Gesetz auch noch, wenn die Faktoren Beziehungsgrössen sind, de-
ren Beziehungssystem mit dem Beziehungssysteme des eingewand-
ten Produktes zusammenfällt. Daraus folgt nun auch, dass es für
reine eingewandte Produkte aus beliebig vielen Faktoren gilt. Nach-
dem wir nun alle überflüssigen Beschränkungen aufgehoben haben,
können wir das Gesetz in seiner ganzen Allgemeinheit hinstellen:

"Die Abschattung des Produktes ist gleich dem Produkte aus
den Abschattungen seiner Faktoren, wenn für alle abzuschat-
tenden Grössen sowohl der Sinn der Abschattung als auch das
Beziehungssystem dasselbe ist."

Wir sagen nämlich, dass der Sinn der Abschattung mehrerer Grös-
sen derselbe sei, wenn nicht nur Grundsystem und Leitsystem die-
selben sind, sondern auch die Abschattungen entweder sämmtlich
äussere, oder sämmtlich eingewandte sind.

§ 154. Daraus, dass jede Gleichheit, welche zwischen den
Vielfachensummen einer Reihe von Grössen stattfindet, auch be-
stehen bleibt, wenn man statt der Grössen ihre Abschattungen
setzt, oder mit andern Worten, dass die Abschattungen in dersel-
ben Zahlenrelation stehen wie die abgeschatteten Grössen, folgt,
dass die Verwandtschaft zwischen den Abschattungen und den ab-
geschatteten Grössen eine besondere Art einer allgemeineren Ver-
wandtschaft ist, welche darin besteht, dass die zwischen einer
Reihe von Grössen herrschenden Zahlenrelationen auch für die
entsprechenden Grössen der zweiten Reihe gelten; und wir wollen
daher diese allgemeinere Verwandtschaft der Betrachtung unter-
werfen. Es tritt jedoch diese Verwandtschaft erst in ihrer ganzen
Einfachheit hervor, wenn die Beziehung eine gegenseitige ist, d. h.
wenn jede Zahlenrelation, welche zwischen Grössen der einen

Verwandtschaftsbeziehungen. § 154
darstellen lassen. Dies Produkt ist nun nach § 138 gleich Kμ+νM . N
oder, wenn M . N gleich K . I ist, gleich Kμ + νK.I. Bezeichnen wir
die Abschattungen mit Accenten und nehmen dieselben entweder
durchweg als äussere oder durchweg als eingewandte an, so ist die
Abschattung des obigen Produktes
[Formel 1] d. h. gleich dem Produkte der Abschattungen. Also gilt nun das
Gesetz auch noch, wenn die Faktoren Beziehungsgrössen sind, de-
ren Beziehungssystem mit dem Beziehungssysteme des eingewand-
ten Produktes zusammenfällt. Daraus folgt nun auch, dass es für
reine eingewandte Produkte aus beliebig vielen Faktoren gilt. Nach-
dem wir nun alle überflüssigen Beschränkungen aufgehoben haben,
können wir das Gesetz in seiner ganzen Allgemeinheit hinstellen:

„Die Abschattung des Produktes ist gleich dem Produkte aus
den Abschattungen seiner Faktoren, wenn für alle abzuschat-
tenden Grössen sowohl der Sinn der Abschattung als auch das
Beziehungssystem dasselbe ist.“

Wir sagen nämlich, dass der Sinn der Abschattung mehrerer Grös-
sen derselbe sei, wenn nicht nur Grundsystem und Leitsystem die-
selben sind, sondern auch die Abschattungen entweder sämmtlich
äussere, oder sämmtlich eingewandte sind.

§ 154. Daraus, dass jede Gleichheit, welche zwischen den
Vielfachensummen einer Reihe von Grössen stattfindet, auch be-
stehen bleibt, wenn man statt der Grössen ihre Abschattungen
setzt, oder mit andern Worten, dass die Abschattungen in dersel-
ben Zahlenrelation stehen wie die abgeschatteten Grössen, folgt,
dass die Verwandtschaft zwischen den Abschattungen und den ab-
geschatteten Grössen eine besondere Art einer allgemeineren Ver-
wandtschaft ist, welche darin besteht, dass die zwischen einer
Reihe von Grössen herrschenden Zahlenrelationen auch für die
entsprechenden Grössen der zweiten Reihe gelten; und wir wollen
daher diese allgemeinere Verwandtschaft der Betrachtung unter-
werfen. Es tritt jedoch diese Verwandtschaft erst in ihrer ganzen
Einfachheit hervor, wenn die Beziehung eine gegenseitige ist, d. h.
wenn jede Zahlenrelation, welche zwischen Grössen der einen

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[238/0274] Verwandtschaftsbeziehungen. § 154 darstellen lassen. Dies Produkt ist nun nach § 138 gleich Kμ+νM . N oder, wenn M . N gleich K . I ist, gleich Kμ + νK.I. Bezeichnen wir die Abschattungen mit Accenten und nehmen dieselben entweder durchweg als äussere oder durchweg als eingewandte an, so ist die Abschattung des obigen Produktes [FORMEL] d. h. gleich dem Produkte der Abschattungen. Also gilt nun das Gesetz auch noch, wenn die Faktoren Beziehungsgrössen sind, de- ren Beziehungssystem mit dem Beziehungssysteme des eingewand- ten Produktes zusammenfällt. Daraus folgt nun auch, dass es für reine eingewandte Produkte aus beliebig vielen Faktoren gilt. Nach- dem wir nun alle überflüssigen Beschränkungen aufgehoben haben, können wir das Gesetz in seiner ganzen Allgemeinheit hinstellen: „Die Abschattung des Produktes ist gleich dem Produkte aus den Abschattungen seiner Faktoren, wenn für alle abzuschat- tenden Grössen sowohl der Sinn der Abschattung als auch das Beziehungssystem dasselbe ist.“ Wir sagen nämlich, dass der Sinn der Abschattung mehrerer Grös- sen derselbe sei, wenn nicht nur Grundsystem und Leitsystem die- selben sind, sondern auch die Abschattungen entweder sämmtlich äussere, oder sämmtlich eingewandte sind. § 154. Daraus, dass jede Gleichheit, welche zwischen den Vielfachensummen einer Reihe von Grössen stattfindet, auch be- stehen bleibt, wenn man statt der Grössen ihre Abschattungen setzt, oder mit andern Worten, dass die Abschattungen in dersel- ben Zahlenrelation stehen wie die abgeschatteten Grössen, folgt, dass die Verwandtschaft zwischen den Abschattungen und den ab- geschatteten Grössen eine besondere Art einer allgemeineren Ver- wandtschaft ist, welche darin besteht, dass die zwischen einer Reihe von Grössen herrschenden Zahlenrelationen auch für die entsprechenden Grössen der zweiten Reihe gelten; und wir wollen daher diese allgemeinere Verwandtschaft der Betrachtung unter- werfen. Es tritt jedoch diese Verwandtschaft erst in ihrer ganzen Einfachheit hervor, wenn die Beziehung eine gegenseitige ist, d. h. wenn jede Zahlenrelation, welche zwischen Grössen der einen

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 238. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/274>, abgerufen am 13.05.2024.