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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 153 Abschattung des Produktes.
N' beziehlich die eingewandten Abschattungen von A, B, C, M, N,
so sind (nach § 153) A'B', B'C', A'B'C' die Abschattungen von AB,
BC, ABC. Ferner da M . N gleich ABC . B ist, so ist nach der in
§ 150 aufgestellten Definition die Abschattung von M.N gleich dem
Produkt der Abschattungen von ABC und B, also gleich A'B'C' . B'.
Ferner ist
[Formel 1] ,
also das Produkt der Abschattungen M' . N' gleich der Abschattung
des Produktes M . N. Somit ist auch für diesen Fall die Gültig-
keit des obigen Gesetzes nachgewiesen. Wir setzten in beiden
Fällen noch voraus, dass das abzuschattende Produkt einen gelten-
den Werth habe, und die Faktoren reine Grössen seien. Ist das
abzuschattende Produkt null, so ist, um die Geltung jenes Gesetzes
auch für diesen Fall zu erweisen, nur zu zeigen, dass das Produkt
aus den Abschattungen der beiden Faktoren auch null sei. Wenn
einer der ursprünglichen Faktoren null ist, so ist auch seine Ab-
schattung null, also auch das Produkt der Abschattungen null.
Wenn aber die beiden Faktoren geltende Werthe haben, und das
Produkt dennoch null ist, so muss, da
[Formel 2] ist, und B nicht null ist, ABC . B als Produkt in der Form der
Einordnung aber nicht anders null werden kann, als wenn einer
der Faktoren null wird, nothwendig ABC null sein, also auch seine
Abschattung, d. h.
[Formel 3] also muss auch A'B'C' . B', d. h. M' . N' oder das Produkt der Ab-
schattungen null sein. Es bleibt also auch noch in diesem Falle
die Abschattung des Produktes gleich dem Produkt aus den Ab-
schattungen der Faktoren. Es ist nun, um das Gesetz in seiner
ganzen Allgemeinheit darzustellen, nur noch die Beschränkung auf-
zuheben, dass die Faktoren des abzuschattenden Produktes reine
Grössen sind. Sind dieselben Beziehungsgrössen, deren Bezie-
hungssystem (K) identisch ist mit dem Beziehungssysteme des ein-
gewandten Produktes und sind m und n die Gradzahlen jener Be-
ziehungsgrössen, M und N ihre eigenthümlichen Werthe in Bezug
auf das Mass K, so wird sich das Produkt in der Form
[Formel 4]

§ 153 Abschattung des Produktes.
N′ beziehlich die eingewandten Abschattungen von A, B, C, M, N,
so sind (nach § 153) A′B′, B′C′, A′B′C′ die Abschattungen von AB,
BC, ABC. Ferner da M . N gleich ABC . B ist, so ist nach der in
§ 150 aufgestellten Definition die Abschattung von M.N gleich dem
Produkt der Abschattungen von ABC und B, also gleich A′B′C′ . B′.
Ferner ist
[Formel 1] ,
also das Produkt der Abschattungen M′ . N′ gleich der Abschattung
des Produktes M . N. Somit ist auch für diesen Fall die Gültig-
keit des obigen Gesetzes nachgewiesen. Wir setzten in beiden
Fällen noch voraus, dass das abzuschattende Produkt einen gelten-
den Werth habe, und die Faktoren reine Grössen seien. Ist das
abzuschattende Produkt null, so ist, um die Geltung jenes Gesetzes
auch für diesen Fall zu erweisen, nur zu zeigen, dass das Produkt
aus den Abschattungen der beiden Faktoren auch null sei. Wenn
einer der ursprünglichen Faktoren null ist, so ist auch seine Ab-
schattung null, also auch das Produkt der Abschattungen null.
Wenn aber die beiden Faktoren geltende Werthe haben, und das
Produkt dennoch null ist, so muss, da
[Formel 2] ist, und B nicht null ist, ABC . B als Produkt in der Form der
Einordnung aber nicht anders null werden kann, als wenn einer
der Faktoren null wird, nothwendig ABC null sein, also auch seine
Abschattung, d. h.
[Formel 3] also muss auch A′B′C′ . B′, d. h. M′ . N′ oder das Produkt der Ab-
schattungen null sein. Es bleibt also auch noch in diesem Falle
die Abschattung des Produktes gleich dem Produkt aus den Ab-
schattungen der Faktoren. Es ist nun, um das Gesetz in seiner
ganzen Allgemeinheit darzustellen, nur noch die Beschränkung auf-
zuheben, dass die Faktoren des abzuschattenden Produktes reine
Grössen sind. Sind dieselben Beziehungsgrössen, deren Bezie-
hungssystem (K) identisch ist mit dem Beziehungssysteme des ein-
gewandten Produktes und sind μ und ν die Gradzahlen jener Be-
ziehungsgrössen, M und N ihre eigenthümlichen Werthe in Bezug
auf das Mass K, so wird sich das Produkt in der Form
[Formel 4] 

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[237/0273] § 153 Abschattung des Produktes. N′ beziehlich die eingewandten Abschattungen von A, B, C, M, N, so sind (nach § 153) A′B′, B′C′, A′B′C′ die Abschattungen von AB, BC, ABC. Ferner da M . N gleich ABC . B ist, so ist nach der in § 150 aufgestellten Definition die Abschattung von M.N gleich dem Produkt der Abschattungen von ABC und B, also gleich A′B′C′ . B′. Ferner ist [FORMEL], also das Produkt der Abschattungen M′ . N′ gleich der Abschattung des Produktes M . N. Somit ist auch für diesen Fall die Gültig- keit des obigen Gesetzes nachgewiesen. Wir setzten in beiden Fällen noch voraus, dass das abzuschattende Produkt einen gelten- den Werth habe, und die Faktoren reine Grössen seien. Ist das abzuschattende Produkt null, so ist, um die Geltung jenes Gesetzes auch für diesen Fall zu erweisen, nur zu zeigen, dass das Produkt aus den Abschattungen der beiden Faktoren auch null sei. Wenn einer der ursprünglichen Faktoren null ist, so ist auch seine Ab- schattung null, also auch das Produkt der Abschattungen null. Wenn aber die beiden Faktoren geltende Werthe haben, und das Produkt dennoch null ist, so muss, da [FORMEL] ist, und B nicht null ist, ABC . B als Produkt in der Form der Einordnung aber nicht anders null werden kann, als wenn einer der Faktoren null wird, nothwendig ABC null sein, also auch seine Abschattung, d. h. [FORMEL] also muss auch A′B′C′ . B′, d. h. M′ . N′ oder das Produkt der Ab- schattungen null sein. Es bleibt also auch noch in diesem Falle die Abschattung des Produktes gleich dem Produkt aus den Ab- schattungen der Faktoren. Es ist nun, um das Gesetz in seiner ganzen Allgemeinheit darzustellen, nur noch die Beschränkung auf- zuheben, dass die Faktoren des abzuschattenden Produktes reine Grössen sind. Sind dieselben Beziehungsgrössen, deren Bezie- hungssystem (K) identisch ist mit dem Beziehungssysteme des ein- gewandten Produktes und sind μ und ν die Gradzahlen jener Be- ziehungsgrössen, M und N ihre eigenthümlichen Werthe in Bezug auf das Mass K, so wird sich das Produkt in der Form [FORMEL]

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 237. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/273>, abgerufen am 13.05.2024.