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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Verwandtschaftsbeziehungen. § 153
lassen. Es seien die beiden Faktoren des eingewandten Produktes
M und N, B stelle ihr nächstumfassendes System dar; dann wer-
den sich M und N als eingewandte auf das Hauptsystem der Ab-
schattung bezügliche Produkte in den Formen AB und BC darstel-
len lassen *); und zwar muss dann ABC als eingewandtes auf das
Hauptsystem der Abschattung bezügliches Produkt einen geltenden
Werth haben, weil AB und C von keinem niederen Systeme als
dem Hauptsysteme umfasst werden können **); denn würden sie
von einem solchen Systeme umfasst, so würden auch M und N,
wie leicht zu sehen ist ***), von einem Systeme niederer Stufe um-
fasst werden, als B ist, gegen die Voraussetzung. Nun ist
[Formel 3] ,
indem B und BC einander eingeordnete Faktoren sind, welche man
daher bei der fortschreitenden Multiplikation nach § 136 vertau-
schen kann. Wir haben nun vorausgesetzt, dass die Abschattung
durchweg eine eingewandte sei, sowohl für die Faktoren M und N,
als auch für deren Produkt, d. h. für ihr nächstumfassendes Sy-
stem B und ihr gemeinschaftliches ABC. Sind nun A', B', C', M',

*) In der That, wenn D ein System darstellt, welches das System von B zum
Hauptsysteme der Abschattung ergänzt, so wird man nur A = und C =
zu setzen haben.
**) Hier tritt die Analogie in dem Wortausdrucke nicht so klar hervor.
Sollte sie klar hervortreten, so müsste man im ersten Falle sagen: "weil das Sy-
stem, welches AB und C gemeinschaftlich haben, von keiner höheren Stufe als
der nullten sein kann" und im letzteren Falle "weil das System, welches AB
und C umfasst, von keiner niederen Stufe als der h-ten sein kann", indem näm-
lich h die Stufe des Hauptsystems bezeichnet.
***) Nämlich wenn D jenes System darstellte, was AB oder M und C umfas-
sen sollte, und doch niedriger wäre als das Hauptsystem, so würde sich C als
eingewandtes, auf das Hauptsystem bezügliches Produkt in der Form D . E dar-
stellen lassen, und es würde N = B . C = B . (D . E), oder da dies Produkt ein
reines ist, = (B . D) . E sein; wo das nächstumfassende System zu B und D das
Hauptsystem sein muss; es wird also das den Grössen B und D gemeinschaft-
liche System die Grösse N umfassen, und auch die Grösse M, da diese sowohl
von B als von D umfasst wird. Das gemeinschaftliche System von B und D um-
fässt also M und N, ist aber von niederer Stufe als B, da D nicht das Hauptsy-
stem ist, und B und D als nächstumfassendes System das Hauptsystem haben.

Verwandtschaftsbeziehungen. § 153
lassen. Es seien die beiden Faktoren des eingewandten Produktes
M und N, B stelle ihr nächstumfassendes System dar; dann wer-
den sich M und N als eingewandte auf das Hauptsystem der Ab-
schattung bezügliche Produkte in den Formen AB und BC darstel-
len lassen *); und zwar muss dann ABC als eingewandtes auf das
Hauptsystem der Abschattung bezügliches Produkt einen geltenden
Werth haben, weil AB und C von keinem niederen Systeme als
dem Hauptsysteme umfasst werden können **); denn würden sie
von einem solchen Systeme umfasst, so würden auch M und N,
wie leicht zu sehen ist ***), von einem Systeme niederer Stufe um-
fasst werden, als B ist, gegen die Voraussetzung. Nun ist
[Formel 3] ,
indem B und BC einander eingeordnete Faktoren sind, welche man
daher bei der fortschreitenden Multiplikation nach § 136 vertau-
schen kann. Wir haben nun vorausgesetzt, dass die Abschattung
durchweg eine eingewandte sei, sowohl für die Faktoren M und N,
als auch für deren Produkt, d. h. für ihr nächstumfassendes Sy-
stem B und ihr gemeinschaftliches ABC. Sind nun A′, B′, C′, M′,

*) In der That, wenn D ein System darstellt, welches das System von B zum
Hauptsysteme der Abschattung ergänzt, so wird man nur A = und C =
zu setzen haben.
**) Hier tritt die Analogie in dem Wortausdrucke nicht so klar hervor.
Sollte sie klar hervortreten, so müsste man im ersten Falle sagen: „weil das Sy-
stem, welches AB und C gemeinschaftlich haben, von keiner höheren Stufe als
der nullten sein kann“ und im letzteren Falle „weil das System, welches AB
und C umfasst, von keiner niederen Stufe als der h-ten sein kann“, indem näm-
lich h die Stufe des Hauptsystems bezeichnet.
***) Nämlich wenn D jenes System darstellte, was AB oder M und C umfas-
sen sollte, und doch niedriger wäre als das Hauptsystem, so würde sich C als
eingewandtes, auf das Hauptsystem bezügliches Produkt in der Form D . E dar-
stellen lassen, und es würde N = B . C = B . (D . E), oder da dies Produkt ein
reines ist, = (B . D) . E sein; wo das nächstumfassende System zu B und D das
Hauptsystem sein muss; es wird also das den Grössen B und D gemeinschaft-
liche System die Grösse N umfassen, und auch die Grösse M, da diese sowohl
von B als von D umfasst wird. Das gemeinschaftliche System von B und D um-
fässt also M und N, ist aber von niederer Stufe als B, da D nicht das Hauptsy-
stem ist, und B und D als nächstumfassendes System das Hauptsystem haben.
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[236/0272] Verwandtschaftsbeziehungen. § 153 lassen. Es seien die beiden Faktoren des eingewandten Produktes M und N, B stelle ihr nächstumfassendes System dar; dann wer- den sich M und N als eingewandte auf das Hauptsystem der Ab- schattung bezügliche Produkte in den Formen AB und BC darstel- len lassen *); und zwar muss dann ABC als eingewandtes auf das Hauptsystem der Abschattung bezügliches Produkt einen geltenden Werth haben, weil AB und C von keinem niederen Systeme als dem Hauptsysteme umfasst werden können **); denn würden sie von einem solchen Systeme umfasst, so würden auch M und N, wie leicht zu sehen ist ***), von einem Systeme niederer Stufe um- fasst werden, als B ist, gegen die Voraussetzung. Nun ist [FORMEL], indem B und BC einander eingeordnete Faktoren sind, welche man daher bei der fortschreitenden Multiplikation nach § 136 vertau- schen kann. Wir haben nun vorausgesetzt, dass die Abschattung durchweg eine eingewandte sei, sowohl für die Faktoren M und N, als auch für deren Produkt, d. h. für ihr nächstumfassendes Sy- stem B und ihr gemeinschaftliches ABC. Sind nun A′, B′, C′, M′, *) In der That, wenn D ein System darstellt, welches das System von B zum Hauptsysteme der Abschattung ergänzt, so wird man nur A = [FORMEL] und C = [FORMEL] zu setzen haben. **) Hier tritt die Analogie in dem Wortausdrucke nicht so klar hervor. Sollte sie klar hervortreten, so müsste man im ersten Falle sagen: „weil das Sy- stem, welches AB und C gemeinschaftlich haben, von keiner höheren Stufe als der nullten sein kann“ und im letzteren Falle „weil das System, welches AB und C umfasst, von keiner niederen Stufe als der h-ten sein kann“, indem näm- lich h die Stufe des Hauptsystems bezeichnet. ***) Nämlich wenn D jenes System darstellte, was AB oder M und C umfas- sen sollte, und doch niedriger wäre als das Hauptsystem, so würde sich C als eingewandtes, auf das Hauptsystem bezügliches Produkt in der Form D . E dar- stellen lassen, und es würde N = B . C = B . (D . E), oder da dies Produkt ein reines ist, = (B . D) . E sein; wo das nächstumfassende System zu B und D das Hauptsystem sein muss; es wird also das den Grössen B und D gemeinschaft- liche System die Grösse N umfassen, und auch die Grösse M, da diese sowohl von B als von D umfasst wird. Das gemeinschaftliche System von B und D um- fässt also M und N, ist aber von niederer Stufe als B, da D nicht das Hauptsy- stem ist, und B und D als nächstumfassendes System das Hauptsystem haben.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 236. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/272>, abgerufen am 22.11.2024.