Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

Verwandtschaftsbeziehungen. § 153
lassen. Es seien die beiden Faktoren des eingewandten Produktes
M und N, B stelle ihr nächstumfassendes System dar; dann wer-
den sich M und N als eingewandte auf das Hauptsystem der Ab-
schattung bezügliche Produkte in den Formen AB und BC darstel-
len lassen *); und zwar muss dann ABC als eingewandtes auf das
Hauptsystem der Abschattung bezügliches Produkt einen geltenden
Werth haben, weil AB und C von keinem niederen Systeme als
dem Hauptsysteme umfasst werden können **); denn würden sie
von einem solchen Systeme umfasst, so würden auch M und N,
wie leicht zu sehen ist ***), von einem Systeme niederer Stufe um-
fasst werden, als B ist, gegen die Voraussetzung. Nun ist
[Formel 3] ,
indem B und BC einander eingeordnete Faktoren sind, welche man
daher bei der fortschreitenden Multiplikation nach § 136 vertau-
schen kann. Wir haben nun vorausgesetzt, dass die Abschattung
durchweg eine eingewandte sei, sowohl für die Faktoren M und N,
als auch für deren Produkt, d. h. für ihr nächstumfassendes Sy-
stem B und ihr gemeinschaftliches ABC. Sind nun A', B', C', M',

*) In der That, wenn D ein System darstellt, welches das System von B zum
Hauptsysteme der Abschattung ergänzt, so wird man nur A = und C =
zu setzen haben.
**) Hier tritt die Analogie in dem Wortausdrucke nicht so klar hervor.
Sollte sie klar hervortreten, so müsste man im ersten Falle sagen: "weil das Sy-
stem, welches AB und C gemeinschaftlich haben, von keiner höheren Stufe als
der nullten sein kann" und im letzteren Falle "weil das System, welches AB
und C umfasst, von keiner niederen Stufe als der h-ten sein kann", indem näm-
lich h die Stufe des Hauptsystems bezeichnet.
***) Nämlich wenn D jenes System darstellte, was AB oder M und C umfas-
sen sollte, und doch niedriger wäre als das Hauptsystem, so würde sich C als
eingewandtes, auf das Hauptsystem bezügliches Produkt in der Form D . E dar-
stellen lassen, und es würde N = B . C = B . (D . E), oder da dies Produkt ein
reines ist, = (B . D) . E sein; wo das nächstumfassende System zu B und D das
Hauptsystem sein muss; es wird also das den Grössen B und D gemeinschaft-
liche System die Grösse N umfassen, und auch die Grösse M, da diese sowohl
von B als von D umfasst wird. Das gemeinschaftliche System von B und D um-
fässt also M und N, ist aber von niederer Stufe als B, da D nicht das Hauptsy-
stem ist, und B und D als nächstumfassendes System das Hauptsystem haben.

Verwandtschaftsbeziehungen. § 153
lassen. Es seien die beiden Faktoren des eingewandten Produktes
M und N, B stelle ihr nächstumfassendes System dar; dann wer-
den sich M und N als eingewandte auf das Hauptsystem der Ab-
schattung bezügliche Produkte in den Formen AB und BC darstel-
len lassen *); und zwar muss dann ABC als eingewandtes auf das
Hauptsystem der Abschattung bezügliches Produkt einen geltenden
Werth haben, weil AB und C von keinem niederen Systeme als
dem Hauptsysteme umfasst werden können **); denn würden sie
von einem solchen Systeme umfasst, so würden auch M und N,
wie leicht zu sehen ist ***), von einem Systeme niederer Stufe um-
fasst werden, als B ist, gegen die Voraussetzung. Nun ist
[Formel 3] ,
indem B und BC einander eingeordnete Faktoren sind, welche man
daher bei der fortschreitenden Multiplikation nach § 136 vertau-
schen kann. Wir haben nun vorausgesetzt, dass die Abschattung
durchweg eine eingewandte sei, sowohl für die Faktoren M und N,
als auch für deren Produkt, d. h. für ihr nächstumfassendes Sy-
stem B und ihr gemeinschaftliches ABC. Sind nun A′, B′, C′, M′,

*) In der That, wenn D ein System darstellt, welches das System von B zum
Hauptsysteme der Abschattung ergänzt, so wird man nur A = und C =
zu setzen haben.
**) Hier tritt die Analogie in dem Wortausdrucke nicht so klar hervor.
Sollte sie klar hervortreten, so müsste man im ersten Falle sagen: „weil das Sy-
stem, welches AB und C gemeinschaftlich haben, von keiner höheren Stufe als
der nullten sein kann“ und im letzteren Falle „weil das System, welches AB
und C umfasst, von keiner niederen Stufe als der h-ten sein kann“, indem näm-
lich h die Stufe des Hauptsystems bezeichnet.
***) Nämlich wenn D jenes System darstellte, was AB oder M und C umfas-
sen sollte, und doch niedriger wäre als das Hauptsystem, so würde sich C als
eingewandtes, auf das Hauptsystem bezügliches Produkt in der Form D . E dar-
stellen lassen, und es würde N = B . C = B . (D . E), oder da dies Produkt ein
reines ist, = (B . D) . E sein; wo das nächstumfassende System zu B und D das
Hauptsystem sein muss; es wird also das den Grössen B und D gemeinschaft-
liche System die Grösse N umfassen, und auch die Grösse M, da diese sowohl
von B als von D umfasst wird. Das gemeinschaftliche System von B und D um-
fässt also M und N, ist aber von niederer Stufe als B, da D nicht das Hauptsy-
stem ist, und B und D als nächstumfassendes System das Hauptsystem haben.
<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0272" n="236"/><fw place="top" type="header">Verwandtschaftsbeziehungen. § 153</fw><lb/>
lassen. Es seien die beiden Faktoren des eingewandten Produktes<lb/>
M und N, B stelle ihr nächstumfassendes System dar; dann wer-<lb/>
den sich M und N als eingewandte auf das Hauptsystem der Ab-<lb/>
schattung bezügliche Produkte in den Formen AB und BC darstel-<lb/>
len lassen <note place="foot" n="*)">In der That, wenn D ein System darstellt, welches das System von B zum<lb/>
Hauptsysteme der Abschattung ergänzt, so wird man nur A = <formula notation="TeX">\frac {DM}{DB}</formula> und C = <formula notation="TeX">\frac {ND}{BD}</formula><lb/>
zu setzen haben.</note>; und zwar muss dann ABC als eingewandtes auf das<lb/>
Hauptsystem der Abschattung bezügliches Produkt einen geltenden<lb/>
Werth haben, weil AB und C von keinem niederen Systeme als<lb/>
dem Hauptsysteme umfasst werden können <note place="foot" n="**)">Hier tritt die Analogie in dem Wortausdrucke nicht so klar hervor.<lb/>
Sollte sie klar hervortreten, so müsste man im ersten Falle sagen: &#x201E;weil das Sy-<lb/>
stem, welches AB und C gemeinschaftlich haben, von keiner höheren Stufe als<lb/>
der nullten sein kann&#x201C; und im letzteren Falle &#x201E;weil das System, welches AB<lb/>
und C umfasst, von keiner niederen Stufe als der h-ten sein kann&#x201C;, indem näm-<lb/>
lich h die Stufe des Hauptsystems bezeichnet.</note>; denn würden sie<lb/>
von einem solchen Systeme umfasst, so würden auch M und N,<lb/>
wie leicht zu sehen ist <note place="foot" n="***)">Nämlich wenn D jenes System darstellte, was AB oder M und C umfas-<lb/>
sen sollte, und doch niedriger wäre als das Hauptsystem, so würde sich C als<lb/>
eingewandtes, auf das Hauptsystem bezügliches Produkt in der Form D . E dar-<lb/>
stellen lassen, und es würde N = B . C = B . (D . E), oder da dies Produkt ein<lb/>
reines ist, = (B . D) . E sein; wo das nächstumfassende System zu B und D das<lb/>
Hauptsystem sein muss; es wird also das den Grössen B und D gemeinschaft-<lb/>
liche System die Grösse N umfassen, und auch die Grösse M, da diese sowohl<lb/>
von B als von D umfasst wird. Das gemeinschaftliche System von B und D um-<lb/>
fässt also M und N, ist aber von niederer Stufe als B, da D nicht das Hauptsy-<lb/>
stem ist, und B und D als nächstumfassendes System das Hauptsystem haben.</note>, von einem Systeme niederer Stufe um-<lb/>
fasst werden, als B ist, gegen die Voraussetzung. Nun ist<lb/><formula/>,<lb/>
indem B und BC einander eingeordnete Faktoren sind, welche man<lb/>
daher bei der fortschreitenden Multiplikation nach § 136 vertau-<lb/>
schen kann. Wir haben nun vorausgesetzt, dass die Abschattung<lb/>
durchweg eine eingewandte sei, sowohl für die Faktoren M und N,<lb/>
als auch für deren Produkt, d. h. für ihr nächstumfassendes Sy-<lb/>
stem B und ihr gemeinschaftliches ABC. Sind nun A&#x2032;, B&#x2032;, C&#x2032;, M&#x2032;,<lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[236/0272] Verwandtschaftsbeziehungen. § 153 lassen. Es seien die beiden Faktoren des eingewandten Produktes M und N, B stelle ihr nächstumfassendes System dar; dann wer- den sich M und N als eingewandte auf das Hauptsystem der Ab- schattung bezügliche Produkte in den Formen AB und BC darstel- len lassen *); und zwar muss dann ABC als eingewandtes auf das Hauptsystem der Abschattung bezügliches Produkt einen geltenden Werth haben, weil AB und C von keinem niederen Systeme als dem Hauptsysteme umfasst werden können **); denn würden sie von einem solchen Systeme umfasst, so würden auch M und N, wie leicht zu sehen ist ***), von einem Systeme niederer Stufe um- fasst werden, als B ist, gegen die Voraussetzung. Nun ist [FORMEL], indem B und BC einander eingeordnete Faktoren sind, welche man daher bei der fortschreitenden Multiplikation nach § 136 vertau- schen kann. Wir haben nun vorausgesetzt, dass die Abschattung durchweg eine eingewandte sei, sowohl für die Faktoren M und N, als auch für deren Produkt, d. h. für ihr nächstumfassendes Sy- stem B und ihr gemeinschaftliches ABC. Sind nun A′, B′, C′, M′, *) In der That, wenn D ein System darstellt, welches das System von B zum Hauptsysteme der Abschattung ergänzt, so wird man nur A = [FORMEL] und C = [FORMEL] zu setzen haben. **) Hier tritt die Analogie in dem Wortausdrucke nicht so klar hervor. Sollte sie klar hervortreten, so müsste man im ersten Falle sagen: „weil das Sy- stem, welches AB und C gemeinschaftlich haben, von keiner höheren Stufe als der nullten sein kann“ und im letzteren Falle „weil das System, welches AB und C umfasst, von keiner niederen Stufe als der h-ten sein kann“, indem näm- lich h die Stufe des Hauptsystems bezeichnet. ***) Nämlich wenn D jenes System darstellte, was AB oder M und C umfas- sen sollte, und doch niedriger wäre als das Hauptsystem, so würde sich C als eingewandtes, auf das Hauptsystem bezügliches Produkt in der Form D . E dar- stellen lassen, und es würde N = B . C = B . (D . E), oder da dies Produkt ein reines ist, = (B . D) . E sein; wo das nächstumfassende System zu B und D das Hauptsystem sein muss; es wird also das den Grössen B und D gemeinschaft- liche System die Grösse N umfassen, und auch die Grösse M, da diese sowohl von B als von D umfasst wird. Das gemeinschaftliche System von B und D um- fässt also M und N, ist aber von niederer Stufe als B, da D nicht das Hauptsy- stem ist, und B und D als nächstumfassendes System das Hauptsystem haben.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/272
Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 236. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/272>, abgerufen am 13.05.2024.