Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 153 Abschattung des Produktes. äusseres Produkt einen geltenden Werth haben, weil C mit ABkeinen Faktor von geltender Stufe gemeinschaftlich haben kann; denn hätten sie einen solchen gemeinschaftlich, so würden auch M und N, wie leicht zu sehen ist, ein System höherer Stufe ge- meinschaftlich haben, als B ist, gegen die Voraussetzung. Nun ist [Formel 1] , indem B und BC einander eingeordnete Faktoren sind, welche man daher bei der fortschreitenden Multiplikation nach § 136 vertau- schen kann. Wir haben nun vorausgesetzt, dass die Abschattung durchweg eine äussere sei, sowohl für die Faktoren M und N, als auch für deren Produkt, d. h. für ihr gemeinschaftliches System B und ihr nächstumfassendes ABC. Sind nun A', B', C', M', N' be- ziehlich die äusseren Abschattungen von A, B, C, M, N, so sind (nach § 84) A'B', B'C', A'B'C' die Abschattungen von AB, BC, ABC. Ferner da M . N gleich ABC . B ist, so ist nach der in § 150 auf- gestellten Definition die Abschattung von M . N gleich dem Pro- dukt der Abschattungen von ABC und B, also gleich A'B'C' . B'. Ferner ist [Formel 2] , also das Produkt der Abschattungen M' . N' gleich der Abschattung des Produktes M . N. Somit ist für den in Betracht gezogenen Fall die Gültigkeit des obigen Gesetzes nachgewiesen. Es bleibt also das Fortbestehen dieses Gesetzes nur noch für den Fall zu bewei- sen, dass die Abschattung durchweg eine eingewandte ist. Der Beweis für diesen Fall ist genau derselbe, wie für den so eben betrachteten Fall, wenn man nur nach dem in § 142 aufgestellten Princip statt der äusseren Multiplikation die auf das Hauptsystem der Abschattung bezügliche eingewandte Multiplikation einführt, und die dort entwickelten Umänderungen, welche durch diese Ein- führung bedingt sind, eintreten lässt. Namentlich ist festzuhalten, dass, wie jede Grösse, welche einer andern untergeordnet ist, als äusserer Faktor derselben dargestellt werden kann, so auch jede Grösse, welche einer andern übergeordnet ist, als eingewandter Faktor derselben in Bezug auf das Hauptsystem dargestellt werden könne. Um jedoch die Art dieser Umänderung an einem ziemlich zusammengesetzten Beispiele klar an's Licht treten zu lassen, will ich die Uebertragung des obigen Beweises hier ausführlich folgen § 153 Abschattung des Produktes. äusseres Produkt einen geltenden Werth haben, weil C mit ABkeinen Faktor von geltender Stufe gemeinschaftlich haben kann; denn hätten sie einen solchen gemeinschaftlich, so würden auch M und N, wie leicht zu sehen ist, ein System höherer Stufe ge- meinschaftlich haben, als B ist, gegen die Voraussetzung. Nun ist [Formel 1] , indem B und BC einander eingeordnete Faktoren sind, welche man daher bei der fortschreitenden Multiplikation nach § 136 vertau- schen kann. Wir haben nun vorausgesetzt, dass die Abschattung durchweg eine äussere sei, sowohl für die Faktoren M und N, als auch für deren Produkt, d. h. für ihr gemeinschaftliches System B und ihr nächstumfassendes ABC. Sind nun A′, B′, C′, M′, N′ be- ziehlich die äusseren Abschattungen von A, B, C, M, N, so sind (nach § 84) A′B′, B′C′, A′B′C′ die Abschattungen von AB, BC, ABC. Ferner da M . N gleich ABC . B ist, so ist nach der in § 150 auf- gestellten Definition die Abschattung von M . N gleich dem Pro- dukt der Abschattungen von ABC und B, also gleich A′B′C′ . B′. Ferner ist [Formel 2] , also das Produkt der Abschattungen M′ . N′ gleich der Abschattung des Produktes M . N. Somit ist für den in Betracht gezogenen Fall die Gültigkeit des obigen Gesetzes nachgewiesen. Es bleibt also das Fortbestehen dieses Gesetzes nur noch für den Fall zu bewei- sen, dass die Abschattung durchweg eine eingewandte ist. Der Beweis für diesen Fall ist genau derselbe, wie für den so eben betrachteten Fall, wenn man nur nach dem in § 142 aufgestellten Princip statt der äusseren Multiplikation die auf das Hauptsystem der Abschattung bezügliche eingewandte Multiplikation einführt, und die dort entwickelten Umänderungen, welche durch diese Ein- führung bedingt sind, eintreten lässt. Namentlich ist festzuhalten, dass, wie jede Grösse, welche einer andern untergeordnet ist, als äusserer Faktor derselben dargestellt werden kann, so auch jede Grösse, welche einer andern übergeordnet ist, als eingewandter Faktor derselben in Bezug auf das Hauptsystem dargestellt werden könne. Um jedoch die Art dieser Umänderung an einem ziemlich zusammengesetzten Beispiele klar an’s Licht treten zu lassen, will ich die Uebertragung des obigen Beweises hier ausführlich folgen <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0271" n="235"/><fw place="top" type="header">§ 153 Abschattung des Produktes.</fw><lb/> äusseres Produkt einen geltenden Werth haben, weil C mit AB<lb/> keinen Faktor von geltender Stufe gemeinschaftlich haben kann;<lb/> denn hätten sie einen solchen gemeinschaftlich, so würden auch<lb/> M und N, wie leicht zu sehen ist, ein System höherer Stufe ge-<lb/> meinschaftlich haben, als B ist, gegen die Voraussetzung. Nun ist<lb/><formula/>,<lb/> indem B und BC einander eingeordnete Faktoren sind, welche man<lb/> daher bei der fortschreitenden Multiplikation nach § 136 vertau-<lb/> schen kann. 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§ 153 Abschattung des Produktes.
äusseres Produkt einen geltenden Werth haben, weil C mit AB
keinen Faktor von geltender Stufe gemeinschaftlich haben kann;
denn hätten sie einen solchen gemeinschaftlich, so würden auch
M und N, wie leicht zu sehen ist, ein System höherer Stufe ge-
meinschaftlich haben, als B ist, gegen die Voraussetzung. Nun ist
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indem B und BC einander eingeordnete Faktoren sind, welche man
daher bei der fortschreitenden Multiplikation nach § 136 vertau-
schen kann. Wir haben nun vorausgesetzt, dass die Abschattung
durchweg eine äussere sei, sowohl für die Faktoren M und N, als
auch für deren Produkt, d. h. für ihr gemeinschaftliches System B
und ihr nächstumfassendes ABC. Sind nun A′, B′, C′, M′, N′ be-
ziehlich die äusseren Abschattungen von A, B, C, M, N, so sind
(nach § 84) A′B′, B′C′, A′B′C′ die Abschattungen von AB, BC, ABC.
Ferner da M . N gleich ABC . B ist, so ist nach der in § 150 auf-
gestellten Definition die Abschattung von M . N gleich dem Pro-
dukt der Abschattungen von ABC und B, also gleich A′B′C′ . B′.
Ferner ist
[FORMEL],
also das Produkt der Abschattungen M′ . N′ gleich der Abschattung
des Produktes M . N. Somit ist für den in Betracht gezogenen Fall
die Gültigkeit des obigen Gesetzes nachgewiesen. Es bleibt also
das Fortbestehen dieses Gesetzes nur noch für den Fall zu bewei-
sen, dass die Abschattung durchweg eine eingewandte ist. Der
Beweis für diesen Fall ist genau derselbe, wie für den so eben
betrachteten Fall, wenn man nur nach dem in § 142 aufgestellten
Princip statt der äusseren Multiplikation die auf das Hauptsystem
der Abschattung bezügliche eingewandte Multiplikation einführt,
und die dort entwickelten Umänderungen, welche durch diese Ein-
führung bedingt sind, eintreten lässt. Namentlich ist festzuhalten,
dass, wie jede Grösse, welche einer andern untergeordnet ist, als
äusserer Faktor derselben dargestellt werden kann, so auch jede
Grösse, welche einer andern übergeordnet ist, als eingewandter
Faktor derselben in Bezug auf das Hauptsystem dargestellt werden
könne. Um jedoch die Art dieser Umänderung an einem ziemlich
zusammengesetzten Beispiele klar an’s Licht treten zu lassen, will
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| Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 235. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/271>, abgerufen am 13.05.2024. |
