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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Verwandtschaftsbeziehungen. § 153

§ 153. Die Sätze in § 84 setzen die Abschattung eines äus-
seren Produktes in Beziehung mit den Abschattungen seiner Fak-
toren, und wir haben die entsprechenden Sätze aufzustellen, sowohl
wenn das Produkt ein eingewandtes, als auch wenn die Abschattung
eine eingewandte wird. Ist das Produkt ein eingewandtes, dessen Be-
ziehungssystem zugleich das Hauptsystem der Abschattung ist, und
ist die Abschattung durchweg eine eingewandte, d. h. nicht nur die der
Faktoren jenes Produktes, sondern auch ins Besondere des Pro-
duktes selbst, so gilt der in § 84 dargesellte Satz, dass die Ab-
schattung eines Produktes das Produkt ist aus den Abschattungen
seiner Faktoren, auch für den so eben bezeichneten Fall, indem
die Beweisführung genau dieselbe ist, wie in jenem Paragraphen.
Nämlich sind A, B die Faktoren des Produktes, L das Leitsystem,
G das Grundsystem, so ist das Produkt L . (A . B) ein eingewandtes
aus 3 Faktoren in Bezug auf dasselbe Hauptsystem; da man hier
beliebig zusammenfassen und mit Beobachtung der Vorzeichen ver-
tauschen kann, so wird der Werth jenes Produktes nicht geändert,
wenn man statt A und B Grössen setzt, die mit L dieselben Pro-
dukte liefern, also z. B. ihre Abschattungen A' und B' auf das
Grundsystem G; es ist also dann
[Formel 1] und da A' sowohl als B' als eingewandte Abschattungen dem Grund-
systeme übergeordnet sind, so ist es auch ihr gemeinschaftliches
System, d. h. ihr Produkt, also ist A' . B' die Abschattung von A . B
auf G nach dem Leitsysteme L. Es ist also die Geltung des Satzes
für den bezeichneten Fall bewiesen; allein es zeigt sich bald, dass
derselbe allgemein gilt, sobald nur die Abschattungen des Produk-
tes und der beiden Faktoren, entweder alle drei eingewandte oder alle
drei äussere sind, mag nun das Produkt ein äusseres oder einge-
wandtes sein. Wir setzen zuerst voraus, dass das Produkt einen
geltenden Werth habe und seine beiden Faktoren reine Grössen
seien; und zwar wollen wir die Geltung des Satzes zuerst für den
Fall beweisen, dass die Abschattung durchweg eine äussere, das
Produkt ein eingewandtes ist. Es seien die beiden Faktoren die-
ses Produktes M und N, B stelle ihr gemeinschaftliches System
dar; dann werden sich M und N als äussere Produkte in den For-
men AB und BC darstellen lassen; und zwar muss dann ABC als

Verwandtschaftsbeziehungen. § 153

§ 153. Die Sätze in § 84 setzen die Abschattung eines äus-
seren Produktes in Beziehung mit den Abschattungen seiner Fak-
toren, und wir haben die entsprechenden Sätze aufzustellen, sowohl
wenn das Produkt ein eingewandtes, als auch wenn die Abschattung
eine eingewandte wird. Ist das Produkt ein eingewandtes, dessen Be-
ziehungssystem zugleich das Hauptsystem der Abschattung ist, und
ist die Abschattung durchweg eine eingewandte, d. h. nicht nur die der
Faktoren jenes Produktes, sondern auch ins Besondere des Pro-
duktes selbst, so gilt der in § 84 dargesellte Satz, dass die Ab-
schattung eines Produktes das Produkt ist aus den Abschattungen
seiner Faktoren, auch für den so eben bezeichneten Fall, indem
die Beweisführung genau dieselbe ist, wie in jenem Paragraphen.
Nämlich sind A, B die Faktoren des Produktes, L das Leitsystem,
G das Grundsystem, so ist das Produkt L . (A . B) ein eingewandtes
aus 3 Faktoren in Bezug auf dasselbe Hauptsystem; da man hier
beliebig zusammenfassen und mit Beobachtung der Vorzeichen ver-
tauschen kann, so wird der Werth jenes Produktes nicht geändert,
wenn man statt A und B Grössen setzt, die mit L dieselben Pro-
dukte liefern, also z. B. ihre Abschattungen A′ und B′ auf das
Grundsystem G; es ist also dann
[Formel 1] und da A′ sowohl als B′ als eingewandte Abschattungen dem Grund-
systeme übergeordnet sind, so ist es auch ihr gemeinschaftliches
System, d. h. ihr Produkt, also ist A′ . B′ die Abschattung von A . B
auf G nach dem Leitsysteme L. Es ist also die Geltung des Satzes
für den bezeichneten Fall bewiesen; allein es zeigt sich bald, dass
derselbe allgemein gilt, sobald nur die Abschattungen des Produk-
tes und der beiden Faktoren, entweder alle drei eingewandte oder alle
drei äussere sind, mag nun das Produkt ein äusseres oder einge-
wandtes sein. Wir setzen zuerst voraus, dass das Produkt einen
geltenden Werth habe und seine beiden Faktoren reine Grössen
seien; und zwar wollen wir die Geltung des Satzes zuerst für den
Fall beweisen, dass die Abschattung durchweg eine äussere, das
Produkt ein eingewandtes ist. Es seien die beiden Faktoren die-
ses Produktes M und N, B stelle ihr gemeinschaftliches System
dar; dann werden sich M und N als äussere Produkte in den For-
men AB und BC darstellen lassen; und zwar muss dann ABC als

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[234/0270] Verwandtschaftsbeziehungen. § 153 § 153. Die Sätze in § 84 setzen die Abschattung eines äus- seren Produktes in Beziehung mit den Abschattungen seiner Fak- toren, und wir haben die entsprechenden Sätze aufzustellen, sowohl wenn das Produkt ein eingewandtes, als auch wenn die Abschattung eine eingewandte wird. Ist das Produkt ein eingewandtes, dessen Be- ziehungssystem zugleich das Hauptsystem der Abschattung ist, und ist die Abschattung durchweg eine eingewandte, d. h. nicht nur die der Faktoren jenes Produktes, sondern auch ins Besondere des Pro- duktes selbst, so gilt der in § 84 dargesellte Satz, dass die Ab- schattung eines Produktes das Produkt ist aus den Abschattungen seiner Faktoren, auch für den so eben bezeichneten Fall, indem die Beweisführung genau dieselbe ist, wie in jenem Paragraphen. Nämlich sind A, B die Faktoren des Produktes, L das Leitsystem, G das Grundsystem, so ist das Produkt L . (A . B) ein eingewandtes aus 3 Faktoren in Bezug auf dasselbe Hauptsystem; da man hier beliebig zusammenfassen und mit Beobachtung der Vorzeichen ver- tauschen kann, so wird der Werth jenes Produktes nicht geändert, wenn man statt A und B Grössen setzt, die mit L dieselben Pro- dukte liefern, also z. B. ihre Abschattungen A′ und B′ auf das Grundsystem G; es ist also dann [FORMEL] und da A′ sowohl als B′ als eingewandte Abschattungen dem Grund- systeme übergeordnet sind, so ist es auch ihr gemeinschaftliches System, d. h. ihr Produkt, also ist A′ . B′ die Abschattung von A . B auf G nach dem Leitsysteme L. Es ist also die Geltung des Satzes für den bezeichneten Fall bewiesen; allein es zeigt sich bald, dass derselbe allgemein gilt, sobald nur die Abschattungen des Produk- tes und der beiden Faktoren, entweder alle drei eingewandte oder alle drei äussere sind, mag nun das Produkt ein äusseres oder einge- wandtes sein. Wir setzen zuerst voraus, dass das Produkt einen geltenden Werth habe und seine beiden Faktoren reine Grössen seien; und zwar wollen wir die Geltung des Satzes zuerst für den Fall beweisen, dass die Abschattung durchweg eine äussere, das Produkt ein eingewandtes ist. Es seien die beiden Faktoren die- ses Produktes M und N, B stelle ihr gemeinschaftliches System dar; dann werden sich M und N als äussere Produkte in den For- men AB und BC darstellen lassen; und zwar muss dann ABC als

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 234. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/270>, abgerufen am 12.05.2024.