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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Das eingewandte Produkt. § 148
ner wenn p gleich c ist, so stellen die beiden ersten Faktoren des
ganzen Produktes beide den Punkt c dar, also ist ihr Produkt null;
ist p gleich b, so stellt der erste Faktor des ganzen Produktes die
Grösse b dar, das Produkt der beiden letzten die Grösse bd, und
bbd ist null; ist p gleich e, so stellt der mittlere Faktor die Grösse
e dar, das Produkt der beiden andern stellt die Grösse ae dar, und
eae ist wieder null. Also liegen alle 5 Punkte in jenem Kegel-
schnitt, und es ist also die Aufgabe, die Gleichung eines durch 5
Punkte bestimmten Kegelschnittes aufzufinden, dadurch gelöst.
Uebrigens stellt jene Gleichung nichts anders als die bekannte Ei-
genschaft des mystischen Sechsecks dar.

§ 148. Ich kann mich hier nicht auf die Entwicklung der
neuen Kurventheorie einlassen, welche durch den von mir aufge-
stellten allgemeinen Satz bedingt ist; ich muss mich hier damit be-
gnügen, den Satz selbst in seiner Allgemeinheit hingestellt, und
durch seine Anwendung auf die einfachsten Fälle seine Bedeutung
anschaulich gemacht zu haben. Ich bin überzeugt, dass schon
hierdurch sowohl die Einfachheit als auch die ausgezeichnete All-
gemeinheit jenes Satzes klar geworden sein wird; indem ja in der
That alle Sätze, welche auf die Abhängigkeit der Kurven von linea-
len Konstruktionen sich beziehen, hieraus mit der grössten Leich-
tigkeit hervorströmen, während ihre Ableitung bisher, wenn jene
Sätze überhaupt bekannt waren, vermittelst weitläuftiger Theorien
erfolgte, und jeder dieser Sätze eine eigne Ableitung erforderte.
Es ist auch klar genug, wie man jetzt diesen allgemeinen Satz auch
ohne Hülfe der von mir angewandten Analyse ohne Schwierigkeit
beweisen kann; aber erst durch sie tritt der Satz in seiner unmit-
telbaren Klarheit hervor, wie er auch durch sie aufgefunden ist;
und zugleich bietet diese Analyse den höchst wichtigen Vortheil
dar, die durch lineale Konstruktionen bestimmten Kurven auf gleich
einfache Weise durch Gleichungen darzustellen. Wie der Satz
eben so auf Kurven im Raume und auf krumme Oberflächen über-
tragen werden kann, bedarf keiner Auseinandersetzung, da der all-
gemeine Satz in § 145 dies schon in viel grösserer Allgemeinheit
für die abstrakte Wissenschaft leistet.


Das eingewandte Produkt. § 148
ner wenn p gleich c ist, so stellen die beiden ersten Faktoren des
ganzen Produktes beide den Punkt c dar, also ist ihr Produkt null;
ist p gleich b, so stellt der erste Faktor des ganzen Produktes die
Grösse b dar, das Produkt der beiden letzten die Grösse bd, und
bbd ist null; ist p gleich e, so stellt der mittlere Faktor die Grösse
e dar, das Produkt der beiden andern stellt die Grösse ae dar, und
eae ist wieder null. Also liegen alle 5 Punkte in jenem Kegel-
schnitt, und es ist also die Aufgabe, die Gleichung eines durch 5
Punkte bestimmten Kegelschnittes aufzufinden, dadurch gelöst.
Uebrigens stellt jene Gleichung nichts anders als die bekannte Ei-
genschaft des mystischen Sechsecks dar.

§ 148. Ich kann mich hier nicht auf die Entwicklung der
neuen Kurventheorie einlassen, welche durch den von mir aufge-
stellten allgemeinen Satz bedingt ist; ich muss mich hier damit be-
gnügen, den Satz selbst in seiner Allgemeinheit hingestellt, und
durch seine Anwendung auf die einfachsten Fälle seine Bedeutung
anschaulich gemacht zu haben. Ich bin überzeugt, dass schon
hierdurch sowohl die Einfachheit als auch die ausgezeichnete All-
gemeinheit jenes Satzes klar geworden sein wird; indem ja in der
That alle Sätze, welche auf die Abhängigkeit der Kurven von linea-
len Konstruktionen sich beziehen, hieraus mit der grössten Leich-
tigkeit hervorströmen, während ihre Ableitung bisher, wenn jene
Sätze überhaupt bekannt waren, vermittelst weitläuftiger Theorien
erfolgte, und jeder dieser Sätze eine eigne Ableitung erforderte.
Es ist auch klar genug, wie man jetzt diesen allgemeinen Satz auch
ohne Hülfe der von mir angewandten Analyse ohne Schwierigkeit
beweisen kann; aber erst durch sie tritt der Satz in seiner unmit-
telbaren Klarheit hervor, wie er auch durch sie aufgefunden ist;
und zugleich bietet diese Analyse den höchst wichtigen Vortheil
dar, die durch lineale Konstruktionen bestimmten Kurven auf gleich
einfache Weise durch Gleichungen darzustellen. Wie der Satz
eben so auf Kurven im Raume und auf krumme Oberflächen über-
tragen werden kann, bedarf keiner Auseinandersetzung, da der all-
gemeine Satz in § 145 dies schon in viel grösserer Allgemeinheit
für die abstrakte Wissenschaft leistet.


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[228/0264] Das eingewandte Produkt. § 148 ner wenn p gleich c ist, so stellen die beiden ersten Faktoren des ganzen Produktes beide den Punkt c dar, also ist ihr Produkt null; ist p gleich b, so stellt der erste Faktor des ganzen Produktes die Grösse b dar, das Produkt der beiden letzten die Grösse bd, und bbd ist null; ist p gleich e, so stellt der mittlere Faktor die Grösse e dar, das Produkt der beiden andern stellt die Grösse ae dar, und eae ist wieder null. Also liegen alle 5 Punkte in jenem Kegel- schnitt, und es ist also die Aufgabe, die Gleichung eines durch 5 Punkte bestimmten Kegelschnittes aufzufinden, dadurch gelöst. Uebrigens stellt jene Gleichung nichts anders als die bekannte Ei- genschaft des mystischen Sechsecks dar. § 148. Ich kann mich hier nicht auf die Entwicklung der neuen Kurventheorie einlassen, welche durch den von mir aufge- stellten allgemeinen Satz bedingt ist; ich muss mich hier damit be- gnügen, den Satz selbst in seiner Allgemeinheit hingestellt, und durch seine Anwendung auf die einfachsten Fälle seine Bedeutung anschaulich gemacht zu haben. Ich bin überzeugt, dass schon hierdurch sowohl die Einfachheit als auch die ausgezeichnete All- gemeinheit jenes Satzes klar geworden sein wird; indem ja in der That alle Sätze, welche auf die Abhängigkeit der Kurven von linea- len Konstruktionen sich beziehen, hieraus mit der grössten Leich- tigkeit hervorströmen, während ihre Ableitung bisher, wenn jene Sätze überhaupt bekannt waren, vermittelst weitläuftiger Theorien erfolgte, und jeder dieser Sätze eine eigne Ableitung erforderte. Es ist auch klar genug, wie man jetzt diesen allgemeinen Satz auch ohne Hülfe der von mir angewandten Analyse ohne Schwierigkeit beweisen kann; aber erst durch sie tritt der Satz in seiner unmit- telbaren Klarheit hervor, wie er auch durch sie aufgefunden ist; und zugleich bietet diese Analyse den höchst wichtigen Vortheil dar, die durch lineale Konstruktionen bestimmten Kurven auf gleich einfache Weise durch Gleichungen darzustellen. Wie der Satz eben so auf Kurven im Raume und auf krumme Oberflächen über- tragen werden kann, bedarf keiner Auseinandersetzung, da der all- gemeine Satz in § 145 dies schon in viel grösserer Allgemeinheit für die abstrakte Wissenschaft leistet.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 228. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/264>, abgerufen am 13.05.2024.