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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 149
Viertes Kapitel.
Verwandtschaftsbeziehungen.

§ 149. Wir knüpfen die Darstellung der Verwandschaftsbe-
ziehungen an den Begriff der Abschattung. Unter der Abschattung
einer Grösse A auf ein Grundsystem G nach einem Leitsysteme L
verstanden wir (§ 82) diejenige Grösse A', welche dem Grund-
systeme G zugehört, und mit einem Theile des Leitsystemes (L)
gleiches Produkt liefert, wie die abgeschattete Grösse (A), wobei
vorausgesetzt wurde, dass G von L unabhängig ist, und das System
LG das Hauptsystem darstellt, auf welches sich jenes Produkt be-
zieht. Diese Erklärung stellten wir dort (in § 82) nur für den
Fall fest, dass unter den Grössen A, L, G reine Ausdehnungsgrös-
sen verstanden seien, und die Multiplikation eine äussere, also A
dem Grundsysteme G untergeordnet sei. Diese Erklärung erweiter-
ten wir in § 108, indem wir statt der Ausdehnungsgrössen eine all-
gemeinere Grössengattung, die Elementargrössen einführten, und in
§ 142 deuteten wir eine noch weiter reichende Verallgemeinerung
an, indem statt der äusseren Multiplikation mit den nöthigen Ver-
änderungen und Beschränkungen die eingewandte eingeführt wer-
den konnte. Halten wir die Bestimmung fest, dass zwei Grössen
einander eingeordnet genannt werden, wenn eine von ihnen der an-
dern untergeordnet ist, so können wir sagen: "Unter der Abschat-
tung einer reinen Grösse A auf ein Grundsystem G nach einem
Leitsysteme L verstehen wir diejenige Grösse A', welche dem
Grundsysteme G eingeordnet ist, und mit einem Theile von L in
Bezug auf das aus Grundsystem und Leitsystem kombinirte System
LG multiplicirt dasselbe Produkt liefert, wie die abgeschattete Grösse
A." Dabei ist also vorausgesetzt, dass LG ein äusseres Produkt
darstellt, und das Hauptsystem ist, dem auch die Grösse A ange-
hört, und auf welches sich die Multiplikation bezieht. Es ergiebt
sich hieraus sogleich im allgemeinsten Sinne die höchst einfache
Gleichung
[Formel 1]

§ 149
Viertes Kapitel.
Verwandtschaftsbeziehungen.

§ 149. Wir knüpfen die Darstellung der Verwandschaftsbe-
ziehungen an den Begriff der Abschattung. Unter der Abschattung
einer Grösse A auf ein Grundsystem G nach einem Leitsysteme L
verstanden wir (§ 82) diejenige Grösse A′, welche dem Grund-
systeme G zugehört, und mit einem Theile des Leitsystemes (L)
gleiches Produkt liefert, wie die abgeschattete Grösse (A), wobei
vorausgesetzt wurde, dass G von L unabhängig ist, und das System
LG das Hauptsystem darstellt, auf welches sich jenes Produkt be-
zieht. Diese Erklärung stellten wir dort (in § 82) nur für den
Fall fest, dass unter den Grössen A, L, G reine Ausdehnungsgrös-
sen verstanden seien, und die Multiplikation eine äussere, also A
dem Grundsysteme G untergeordnet sei. Diese Erklärung erweiter-
ten wir in § 108, indem wir statt der Ausdehnungsgrössen eine all-
gemeinere Grössengattung, die Elementargrössen einführten, und in
§ 142 deuteten wir eine noch weiter reichende Verallgemeinerung
an, indem statt der äusseren Multiplikation mit den nöthigen Ver-
änderungen und Beschränkungen die eingewandte eingeführt wer-
den konnte. Halten wir die Bestimmung fest, dass zwei Grössen
einander eingeordnet genannt werden, wenn eine von ihnen der an-
dern untergeordnet ist, so können wir sagen: „Unter der Abschat-
tung einer reinen Grösse A auf ein Grundsystem G nach einem
Leitsysteme L verstehen wir diejenige Grösse A′, welche dem
Grundsysteme G eingeordnet ist, und mit einem Theile von L in
Bezug auf das aus Grundsystem und Leitsystem kombinirte System
LG multiplicirt dasselbe Produkt liefert, wie die abgeschattete Grösse
A.“ Dabei ist also vorausgesetzt, dass LG ein äusseres Produkt
darstellt, und das Hauptsystem ist, dem auch die Grösse A ange-
hört, und auf welches sich die Multiplikation bezieht. Es ergiebt
sich hieraus sogleich im allgemeinsten Sinne die höchst einfache
Gleichung
[Formel 1] 

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[229/0265] § 149 Viertes Kapitel. Verwandtschaftsbeziehungen. § 149. Wir knüpfen die Darstellung der Verwandschaftsbe- ziehungen an den Begriff der Abschattung. Unter der Abschattung einer Grösse A auf ein Grundsystem G nach einem Leitsysteme L verstanden wir (§ 82) diejenige Grösse A′, welche dem Grund- systeme G zugehört, und mit einem Theile des Leitsystemes (L) gleiches Produkt liefert, wie die abgeschattete Grösse (A), wobei vorausgesetzt wurde, dass G von L unabhängig ist, und das System LG das Hauptsystem darstellt, auf welches sich jenes Produkt be- zieht. Diese Erklärung stellten wir dort (in § 82) nur für den Fall fest, dass unter den Grössen A, L, G reine Ausdehnungsgrös- sen verstanden seien, und die Multiplikation eine äussere, also A dem Grundsysteme G untergeordnet sei. Diese Erklärung erweiter- ten wir in § 108, indem wir statt der Ausdehnungsgrössen eine all- gemeinere Grössengattung, die Elementargrössen einführten, und in § 142 deuteten wir eine noch weiter reichende Verallgemeinerung an, indem statt der äusseren Multiplikation mit den nöthigen Ver- änderungen und Beschränkungen die eingewandte eingeführt wer- den konnte. Halten wir die Bestimmung fest, dass zwei Grössen einander eingeordnet genannt werden, wenn eine von ihnen der an- dern untergeordnet ist, so können wir sagen: „Unter der Abschat- tung einer reinen Grösse A auf ein Grundsystem G nach einem Leitsysteme L verstehen wir diejenige Grösse A′, welche dem Grundsysteme G eingeordnet ist, und mit einem Theile von L in Bezug auf das aus Grundsystem und Leitsystem kombinirte System LG multiplicirt dasselbe Produkt liefert, wie die abgeschattete Grösse A.“ Dabei ist also vorausgesetzt, dass LG ein äusseres Produkt darstellt, und das Hauptsystem ist, dem auch die Grösse A ange- hört, und auf welches sich die Multiplikation bezieht. Es ergiebt sich hieraus sogleich im allgemeinsten Sinne die höchst einfache Gleichung [FORMEL]

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 229. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/265>, abgerufen am 13.05.2024.