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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Das eingewandte Produkt. § 146

§ 146. Wir beschränken uns, um die Bedeutung dieses bis-
her noch unbekannten Satzes, welcher über den Zusammenhang
der Kurven und Oberflächen ein bisher wohl kaum geahntes Licht
verbreitet, zur Anschauung zu bringen, auf die Kurven in der Ebene,
indem die analoge Betrachtung der Kurven im Raume und der
krummen Oberflächen dann kaum noch einer Erläuterung bedarf.
Es zeigt sich sogleich, dass die geometrische Gleichung nur dann
eine Kurve darstellen wird, wenn sie durch Eine arithmetische er-
setzt wird, d. h. wenn sie, da die Ebene ein Elementarsystem drit-
ter Stufe ist, gleichfalls von dritter Stufe ist. Hierdurch ergeben sich
dann aus dem allgemeinen Satze des vorigen § folgende Specialsätze:

"Wenn die Lage eines Punktes (p) in der Ebene dadurch be-
schränkt ist, dass 3 Punkte, welche durch Konstruktionen ver-
mittelst des Lineals aus jenem Punkte (p) und aus einer ge-
gebenen Reihe fester gerader Linien oder Punkte hervorgehen,
in Einer geraden Linie liegen (oder drei solche Grade durch
Einen Punkt gehen), so ist der Ort jenes Punktes (p) eine al-
gebraische Kurve, deren Ordnung man durch blosses Nachzäh-
len findet. Nämlich man hat nur nachzuzählen, wie oft bei
den angenommenen Konstruktionen auf den beweglichen Punkt
p zurückgegangen wird, ohne dass man auf einen andern be-
weglichen Punkt zurückgeht; die so erhaltene Zahl (m) ist
dann die Ordnungszahl der Kurve."

Es ist hierbei klar, dass, wenn man auf einen andern beweg-
lichen Punkt zurückgeht, bei dessen Erzeugung p selbst n-mal an-
gewandt ist, es dasselbe ist, als wäre man auf p selbst n-mal zu-
rückgegangen, Der Beweis besteht nur darin, dass ich zeige, wie
daraus eine geometrische Gleichung hervorgeht, in der p so oft als
Faktor eines Gliedes erscheint. Jede Konstruktion vermittelst des
Lineals in der Ebene besteht nämlich darin, dass entweder 2 Punkte
durch eine gerade Linie verbunden, oder der Durchschnittspunkt
zweier gerader Linien bestimmt wird; die gerade Linie zwischen
den beiden Punkten ist aber das Produkt derselben, und der Durch-
schnittspunkt zweier gerader Linien, wenn es nicht auf das Gewicht
ankommt, gleichfalls ihr Produkt; folglich kann ich jeder linealen
Konstruktion, bei welcher ein Punkt oder eine Linie angewandt
wird, eine Multiplikation mit diesem Punkte oder dieser Linie sub-

Das eingewandte Produkt. § 146

§ 146. Wir beschränken uns, um die Bedeutung dieses bis-
her noch unbekannten Satzes, welcher über den Zusammenhang
der Kurven und Oberflächen ein bisher wohl kaum geahntes Licht
verbreitet, zur Anschauung zu bringen, auf die Kurven in der Ebene,
indem die analoge Betrachtung der Kurven im Raume und der
krummen Oberflächen dann kaum noch einer Erläuterung bedarf.
Es zeigt sich sogleich, dass die geometrische Gleichung nur dann
eine Kurve darstellen wird, wenn sie durch Eine arithmetische er-
setzt wird, d. h. wenn sie, da die Ebene ein Elementarsystem drit-
ter Stufe ist, gleichfalls von dritter Stufe ist. Hierdurch ergeben sich
dann aus dem allgemeinen Satze des vorigen § folgende Specialsätze:

„Wenn die Lage eines Punktes (p) in der Ebene dadurch be-
schränkt ist, dass 3 Punkte, welche durch Konstruktionen ver-
mittelst des Lineals aus jenem Punkte (p) und aus einer ge-
gebenen Reihe fester gerader Linien oder Punkte hervorgehen,
in Einer geraden Linie liegen (oder drei solche Grade durch
Einen Punkt gehen), so ist der Ort jenes Punktes (p) eine al-
gebraische Kurve, deren Ordnung man durch blosses Nachzäh-
len findet. Nämlich man hat nur nachzuzählen, wie oft bei
den angenommenen Konstruktionen auf den beweglichen Punkt
p zurückgegangen wird, ohne dass man auf einen andern be-
weglichen Punkt zurückgeht; die so erhaltene Zahl (m) ist
dann die Ordnungszahl der Kurve.“

Es ist hierbei klar, dass, wenn man auf einen andern beweg-
lichen Punkt zurückgeht, bei dessen Erzeugung p selbst n-mal an-
gewandt ist, es dasselbe ist, als wäre man auf p selbst n-mal zu-
rückgegangen, Der Beweis besteht nur darin, dass ich zeige, wie
daraus eine geometrische Gleichung hervorgeht, in der p so oft als
Faktor eines Gliedes erscheint. Jede Konstruktion vermittelst des
Lineals in der Ebene besteht nämlich darin, dass entweder 2 Punkte
durch eine gerade Linie verbunden, oder der Durchschnittspunkt
zweier gerader Linien bestimmt wird; die gerade Linie zwischen
den beiden Punkten ist aber das Produkt derselben, und der Durch-
schnittspunkt zweier gerader Linien, wenn es nicht auf das Gewicht
ankommt, gleichfalls ihr Produkt; folglich kann ich jeder linealen
Konstruktion, bei welcher ein Punkt oder eine Linie angewandt
wird, eine Multiplikation mit diesem Punkte oder dieser Linie sub-

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[226/0262] Das eingewandte Produkt. § 146 § 146. Wir beschränken uns, um die Bedeutung dieses bis- her noch unbekannten Satzes, welcher über den Zusammenhang der Kurven und Oberflächen ein bisher wohl kaum geahntes Licht verbreitet, zur Anschauung zu bringen, auf die Kurven in der Ebene, indem die analoge Betrachtung der Kurven im Raume und der krummen Oberflächen dann kaum noch einer Erläuterung bedarf. Es zeigt sich sogleich, dass die geometrische Gleichung nur dann eine Kurve darstellen wird, wenn sie durch Eine arithmetische er- setzt wird, d. h. wenn sie, da die Ebene ein Elementarsystem drit- ter Stufe ist, gleichfalls von dritter Stufe ist. Hierdurch ergeben sich dann aus dem allgemeinen Satze des vorigen § folgende Specialsätze: „Wenn die Lage eines Punktes (p) in der Ebene dadurch be- schränkt ist, dass 3 Punkte, welche durch Konstruktionen ver- mittelst des Lineals aus jenem Punkte (p) und aus einer ge- gebenen Reihe fester gerader Linien oder Punkte hervorgehen, in Einer geraden Linie liegen (oder drei solche Grade durch Einen Punkt gehen), so ist der Ort jenes Punktes (p) eine al- gebraische Kurve, deren Ordnung man durch blosses Nachzäh- len findet. Nämlich man hat nur nachzuzählen, wie oft bei den angenommenen Konstruktionen auf den beweglichen Punkt p zurückgegangen wird, ohne dass man auf einen andern be- weglichen Punkt zurückgeht; die so erhaltene Zahl (m) ist dann die Ordnungszahl der Kurve.“ Es ist hierbei klar, dass, wenn man auf einen andern beweg- lichen Punkt zurückgeht, bei dessen Erzeugung p selbst n-mal an- gewandt ist, es dasselbe ist, als wäre man auf p selbst n-mal zu- rückgegangen, Der Beweis besteht nur darin, dass ich zeige, wie daraus eine geometrische Gleichung hervorgeht, in der p so oft als Faktor eines Gliedes erscheint. Jede Konstruktion vermittelst des Lineals in der Ebene besteht nämlich darin, dass entweder 2 Punkte durch eine gerade Linie verbunden, oder der Durchschnittspunkt zweier gerader Linien bestimmt wird; die gerade Linie zwischen den beiden Punkten ist aber das Produkt derselben, und der Durch- schnittspunkt zweier gerader Linien, wenn es nicht auf das Gewicht ankommt, gleichfalls ihr Produkt; folglich kann ich jeder linealen Konstruktion, bei welcher ein Punkt oder eine Linie angewandt wird, eine Multiplikation mit diesem Punkte oder dieser Linie sub-

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 226. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/262>, abgerufen am 13.05.2024.