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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Das eingewandte Produkt. § 145
muss, der Punkt als Oberfläche erster Klasse. Will man die Glei-
chung eines Punktes aufstellen, der durch 3 feste Ebenen bestimmt
ist, oder, was dasselbe ist, will man die Bedingung aufstellen, un-
ter welcher eine Ebene P mit drei andern A, B, C durch denselben
Punkt geht, so hat man sogleich
[Formel 1] eine Gleichung, welche die höchst verwickelten Gleichungen, zu
denen die gewöhnliche Koordinatenmethode führt, vollkommen er-
setzt.

§ 145. Die Gleichungen für die Kurven und krummen Ober-
flächen, wie wir sie bisher darstellten, waren, da sie zwischen den
Zeigern der veränderlichen Grösse statt fanden, rein arithmetischer
Natur, und bezogen sich jedesmal auf bestimmte mit der Natur des
durch die Gleichung dargestellten Gebildes in keinem Zusammen-
hang stehende Richtsysteme; und nur die Gleichungen ersten Gra-
des stellten wir in rein geometrischer Form dar. In der That
konnten auch nur diese, wenn wir bei dem reinen Produkte stehen
blieben, in geometrischer Form dargestellt werden, indem die ver-
änderliche Grösse dann nur einmal als Faktor vorkommen konnte.
Dagegen bietet uns das gemischte Produkt ein ausgezeichnetes Mit-
tel dar, um die Kurven und Oberflächen höherer Grade in rein geo-
metrischer Form darzustellen. Es ist nämlich sogleich klar, dass,
wenn wir eine beliebige Gleichung zwischen Ausdehnungsgrössen
haben, deren Glieder gemischte Produkte sind, der Grad der Glei-
chung in Bezug auf eine derselben (P) stets so hoch ist, als die
Anzahl (m) beträgt, wie oft diese Ausdehnungsgrösse (P) in einem
und demselben Gliede von geltendem Werthe höchstens als Faktor
vorkommt, d. h. dass sie durch Zahlengleichungen ersetzt wird, von
denen wenigstens Eine in Bezug auf die Zeiger der veränderlichen
Ausdehnungsgrösse einen Grad erreicht, welcher jener Anzahl gleich
ist. Dies folgt unmittelbar, da man, um zu den ersetzenden Zah-
lengleichungen zu gelangen, nur statt jeder Grösse die Summe aus
den Produkten ihrer Zeiger in die zugehörigen Richtmasse zu
setzen, dann die Gesetze der Multiplikation bei jedem Gliede der
gegebenen Gleichung anzuwenden hat, indem man statt mit der
Summe zu multipliciren mit den einzelnen Stücken multiplicirt,
und dann die Glieder, welche demselben Richtgebiete gleichartig

Das eingewandte Produkt. § 145
muss, der Punkt als Oberfläche erster Klasse. Will man die Glei-
chung eines Punktes aufstellen, der durch 3 feste Ebenen bestimmt
ist, oder, was dasselbe ist, will man die Bedingung aufstellen, un-
ter welcher eine Ebene P mit drei andern A, B, C durch denselben
Punkt geht, so hat man sogleich
[Formel 1] eine Gleichung, welche die höchst verwickelten Gleichungen, zu
denen die gewöhnliche Koordinatenmethode führt, vollkommen er-
setzt.

§ 145. Die Gleichungen für die Kurven und krummen Ober-
flächen, wie wir sie bisher darstellten, waren, da sie zwischen den
Zeigern der veränderlichen Grösse statt fanden, rein arithmetischer
Natur, und bezogen sich jedesmal auf bestimmte mit der Natur des
durch die Gleichung dargestellten Gebildes in keinem Zusammen-
hang stehende Richtsysteme; und nur die Gleichungen ersten Gra-
des stellten wir in rein geometrischer Form dar. In der That
konnten auch nur diese, wenn wir bei dem reinen Produkte stehen
blieben, in geometrischer Form dargestellt werden, indem die ver-
änderliche Grösse dann nur einmal als Faktor vorkommen konnte.
Dagegen bietet uns das gemischte Produkt ein ausgezeichnetes Mit-
tel dar, um die Kurven und Oberflächen höherer Grade in rein geo-
metrischer Form darzustellen. Es ist nämlich sogleich klar, dass,
wenn wir eine beliebige Gleichung zwischen Ausdehnungsgrössen
haben, deren Glieder gemischte Produkte sind, der Grad der Glei-
chung in Bezug auf eine derselben (P) stets so hoch ist, als die
Anzahl (m) beträgt, wie oft diese Ausdehnungsgrösse (P) in einem
und demselben Gliede von geltendem Werthe höchstens als Faktor
vorkommt, d. h. dass sie durch Zahlengleichungen ersetzt wird, von
denen wenigstens Eine in Bezug auf die Zeiger der veränderlichen
Ausdehnungsgrösse einen Grad erreicht, welcher jener Anzahl gleich
ist. Dies folgt unmittelbar, da man, um zu den ersetzenden Zah-
lengleichungen zu gelangen, nur statt jeder Grösse die Summe aus
den Produkten ihrer Zeiger in die zugehörigen Richtmasse zu
setzen, dann die Gesetze der Multiplikation bei jedem Gliede der
gegebenen Gleichung anzuwenden hat, indem man statt mit der
Summe zu multipliciren mit den einzelnen Stücken multiplicirt,
und dann die Glieder, welche demselben Richtgebiete gleichartig

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[224/0260] Das eingewandte Produkt. § 145 muss, der Punkt als Oberfläche erster Klasse. Will man die Glei- chung eines Punktes aufstellen, der durch 3 feste Ebenen bestimmt ist, oder, was dasselbe ist, will man die Bedingung aufstellen, un- ter welcher eine Ebene P mit drei andern A, B, C durch denselben Punkt geht, so hat man sogleich [FORMEL] eine Gleichung, welche die höchst verwickelten Gleichungen, zu denen die gewöhnliche Koordinatenmethode führt, vollkommen er- setzt. § 145. Die Gleichungen für die Kurven und krummen Ober- flächen, wie wir sie bisher darstellten, waren, da sie zwischen den Zeigern der veränderlichen Grösse statt fanden, rein arithmetischer Natur, und bezogen sich jedesmal auf bestimmte mit der Natur des durch die Gleichung dargestellten Gebildes in keinem Zusammen- hang stehende Richtsysteme; und nur die Gleichungen ersten Gra- des stellten wir in rein geometrischer Form dar. In der That konnten auch nur diese, wenn wir bei dem reinen Produkte stehen blieben, in geometrischer Form dargestellt werden, indem die ver- änderliche Grösse dann nur einmal als Faktor vorkommen konnte. Dagegen bietet uns das gemischte Produkt ein ausgezeichnetes Mit- tel dar, um die Kurven und Oberflächen höherer Grade in rein geo- metrischer Form darzustellen. Es ist nämlich sogleich klar, dass, wenn wir eine beliebige Gleichung zwischen Ausdehnungsgrössen haben, deren Glieder gemischte Produkte sind, der Grad der Glei- chung in Bezug auf eine derselben (P) stets so hoch ist, als die Anzahl (m) beträgt, wie oft diese Ausdehnungsgrösse (P) in einem und demselben Gliede von geltendem Werthe höchstens als Faktor vorkommt, d. h. dass sie durch Zahlengleichungen ersetzt wird, von denen wenigstens Eine in Bezug auf die Zeiger der veränderlichen Ausdehnungsgrösse einen Grad erreicht, welcher jener Anzahl gleich ist. Dies folgt unmittelbar, da man, um zu den ersetzenden Zah- lengleichungen zu gelangen, nur statt jeder Grösse die Summe aus den Produkten ihrer Zeiger in die zugehörigen Richtmasse zu setzen, dann die Gesetze der Multiplikation bei jedem Gliede der gegebenen Gleichung anzuwenden hat, indem man statt mit der Summe zu multipliciren mit den einzelnen Stücken multiplicirt, und dann die Glieder, welche demselben Richtgebiete gleichartig

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 224. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/260>, abgerufen am 16.02.2025.