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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 144 Anwendung auf die Geometrie.
schnittspunkt der drei Ebenen multiplicirt mit zwei Theilen des
Raumes z. B. abc . abd . acd = abcd . abcd . a. Das Produkt von
vier Plangrössen stellt 3 als Faktoren verbundene Theile des Raums
dar, z. B. mabc . nadb . pacd . qbcd = mnpq . abcd . abcd . abcd. Dies
letzte Produkt wird null, wenn eine der Grössen m ... q es wird,
oder wenn der eingeschlossene Körperraum null wird, d. h. die 4
Ebenen sich in einem Punkte schneiden, wie dies auch schon im Begriff
liegt. Das Produkt einer Liniengrösse und einer Plangrösse ist
ein Theil des Raumes multiplicirt mit dem Durchschnittspunkt,
z. B. ab . acd = abcd . a.

Ich habe oben (§ 118) die Methode, die Kurven und Ober-
flächen durch Gleichungen darzustellen, mit unserer Wissenschaft
in Beziehung gesetzt, und gezeigt, wie z. B. eine Oberfläche als
geometrischer Ort eines Punktes dargestellt werden kann, zwischen
dessen Zeigern (in Bezug auf irgend ein Richtsystem) eine Glei-
chung statt findet; ich habe dort gezeigt, wie die Oberfläche auch
als Umhülle einer veränderlichen Ebene oder vielmehr Plangrösse
dargestellt werden kann, zwischen deren Zeigern eine Gleichung
n-ten Grades statt findet, und ich habe dort angedeutet, dass die
umhüllte Oberfläche dann eine Oberfläche n-ter Klasse sei; dies
hängt davon ab, dass die Gleichung zwischen den Zeigern einer
veränderlichen Ebene, welche einen festen Punkt umhüllt, dann von
erstem Grade ist. In der That ist a dieser Punkt und P die
Ebene, so hat man sogleich für den Fall, dass P durch a geht, die
Gleichung
[Formel 1] Sind A, B, C, D die vier Richtmasse dritter Stufe, als deren Viel-
fachensumme P erscheint, und wird einer der Zeiger z. B. der von
D = 1 gesetzt (was immer, da es auf den Masswerth *) von P nicht
ankommt, verstattet ist), und ist
[Formel 2] ,
so erhält man
[Formel 3] ,
was eine Gleichung ersten Grades ist; somit erscheint, wie es sein

*) So nenne ich das Quantum der Grösse, wenn ihr System schon fest-
steht.

§ 144 Anwendung auf die Geometrie.
schnittspunkt der drei Ebenen multiplicirt mit zwei Theilen des
Raumes z. B. abc . abd . acd = abcd . abcd . a. Das Produkt von
vier Plangrössen stellt 3 als Faktoren verbundene Theile des Raums
dar, z. B. mabc . nadb . pacd . qbcd = mnpq . abcd . abcd . abcd. Dies
letzte Produkt wird null, wenn eine der Grössen m ... q es wird,
oder wenn der eingeschlossene Körperraum null wird, d. h. die 4
Ebenen sich in einem Punkte schneiden, wie dies auch schon im Begriff
liegt. Das Produkt einer Liniengrösse und einer Plangrösse ist
ein Theil des Raumes multiplicirt mit dem Durchschnittspunkt,
z. B. ab . acd = abcd . a.

Ich habe oben (§ 118) die Methode, die Kurven und Ober-
flächen durch Gleichungen darzustellen, mit unserer Wissenschaft
in Beziehung gesetzt, und gezeigt, wie z. B. eine Oberfläche als
geometrischer Ort eines Punktes dargestellt werden kann, zwischen
dessen Zeigern (in Bezug auf irgend ein Richtsystem) eine Glei-
chung statt findet; ich habe dort gezeigt, wie die Oberfläche auch
als Umhülle einer veränderlichen Ebene oder vielmehr Plangrösse
dargestellt werden kann, zwischen deren Zeigern eine Gleichung
n-ten Grades statt findet, und ich habe dort angedeutet, dass die
umhüllte Oberfläche dann eine Oberfläche n-ter Klasse sei; dies
hängt davon ab, dass die Gleichung zwischen den Zeigern einer
veränderlichen Ebene, welche einen festen Punkt umhüllt, dann von
erstem Grade ist. In der That ist a dieser Punkt und P die
Ebene, so hat man sogleich für den Fall, dass P durch a geht, die
Gleichung
[Formel 1] Sind A, B, C, D die vier Richtmasse dritter Stufe, als deren Viel-
fachensumme P erscheint, und wird einer der Zeiger z. B. der von
D = 1 gesetzt (was immer, da es auf den Masswerth *) von P nicht
ankommt, verstattet ist), und ist
[Formel 2] ,
so erhält man
[Formel 3] ,
was eine Gleichung ersten Grades ist; somit erscheint, wie es sein

*) So nenne ich das Quantum der Grösse, wenn ihr System schon fest-
steht.
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[223/0259] § 144 Anwendung auf die Geometrie. schnittspunkt der drei Ebenen multiplicirt mit zwei Theilen des Raumes z. B. abc . abd . acd = abcd . abcd . a. Das Produkt von vier Plangrössen stellt 3 als Faktoren verbundene Theile des Raums dar, z. B. mabc . nadb . pacd . qbcd = mnpq . abcd . abcd . abcd. Dies letzte Produkt wird null, wenn eine der Grössen m ... q es wird, oder wenn der eingeschlossene Körperraum null wird, d. h. die 4 Ebenen sich in einem Punkte schneiden, wie dies auch schon im Begriff liegt. Das Produkt einer Liniengrösse und einer Plangrösse ist ein Theil des Raumes multiplicirt mit dem Durchschnittspunkt, z. B. ab . acd = abcd . a. Ich habe oben (§ 118) die Methode, die Kurven und Ober- flächen durch Gleichungen darzustellen, mit unserer Wissenschaft in Beziehung gesetzt, und gezeigt, wie z. B. eine Oberfläche als geometrischer Ort eines Punktes dargestellt werden kann, zwischen dessen Zeigern (in Bezug auf irgend ein Richtsystem) eine Glei- chung statt findet; ich habe dort gezeigt, wie die Oberfläche auch als Umhülle einer veränderlichen Ebene oder vielmehr Plangrösse dargestellt werden kann, zwischen deren Zeigern eine Gleichung n-ten Grades statt findet, und ich habe dort angedeutet, dass die umhüllte Oberfläche dann eine Oberfläche n-ter Klasse sei; dies hängt davon ab, dass die Gleichung zwischen den Zeigern einer veränderlichen Ebene, welche einen festen Punkt umhüllt, dann von erstem Grade ist. In der That ist a dieser Punkt und P die Ebene, so hat man sogleich für den Fall, dass P durch a geht, die Gleichung [FORMEL] Sind A, B, C, D die vier Richtmasse dritter Stufe, als deren Viel- fachensumme P erscheint, und wird einer der Zeiger z. B. der von D = 1 gesetzt (was immer, da es auf den Masswerth *) von P nicht ankommt, verstattet ist), und ist [FORMEL], so erhält man [FORMEL], was eine Gleichung ersten Grades ist; somit erscheint, wie es sein *) So nenne ich das Quantum der Grösse, wenn ihr System schon fest- steht.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 223. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/259>, abgerufen am 13.05.2024.