Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Das eingewandte Produkt. § 144 nen Elementargrössen, und diese wieder als als allgemeinere Grös-sengattung zu den reinen Ausdehnungsgrössen auftraten, so bilden die Beziehungsgrössen überhaupt die allgemeinste Grössengattung, zu welcher wir auf dieser Stufe gelangen. Da zugleich auch die reine Multiplikation als die allgemeinste Multiplikationsweise sich darstellt, bei welcher noch die allgemeinen multiplikativen Gesetze und namentlich auch das Zusammenfassungsgesetz fortbesteht, so erscheint hier die theoretische Darstellung dieses Theils der Aus- dehnungslehre als vollendet, insofern man nicht auch die Multipli- kationsweisen in Betracht ziehen will, für welche das Zusammen- fassungsgesetz nicht mehr gilt. *) Wir schreiten daher zu den An- wendungen, und behalten dem folgenden Kapitel nur noch die spe- cielle Behandlung der Verwandtschaftsverhältnisse vor, welche am geeignetsten erscheint, um die in diesem Theile gewonnenen Er- gebnisse in einander zu verflechten, und ihre gegenseitigen Be- ziehungen ans Licht treten zu lassen. § 144. Zunächst ergeben sich aus dem allgemeinen Begriffe *) Wie solche Produkte, welche allerdings auch eine mannigfache Anwen-
dung gestatten, zu behandeln seien, habe ich am Schlusse des Werkes anzudeu- ten gesucht. Das eingewandte Produkt. § 144 nen Elementargrössen, und diese wieder als als allgemeinere Grös-sengattung zu den reinen Ausdehnungsgrössen auftraten, so bilden die Beziehungsgrössen überhaupt die allgemeinste Grössengattung, zu welcher wir auf dieser Stufe gelangen. Da zugleich auch die reine Multiplikation als die allgemeinste Multiplikationsweise sich darstellt, bei welcher noch die allgemeinen multiplikativen Gesetze und namentlich auch das Zusammenfassungsgesetz fortbesteht, so erscheint hier die theoretische Darstellung dieses Theils der Aus- dehnungslehre als vollendet, insofern man nicht auch die Multipli- kationsweisen in Betracht ziehen will, für welche das Zusammen- fassungsgesetz nicht mehr gilt. *) Wir schreiten daher zu den An- wendungen, und behalten dem folgenden Kapitel nur noch die spe- cielle Behandlung der Verwandtschaftsverhältnisse vor, welche am geeignetsten erscheint, um die in diesem Theile gewonnenen Er- gebnisse in einander zu verflechten, und ihre gegenseitigen Be- ziehungen ans Licht treten zu lassen. § 144. Zunächst ergeben sich aus dem allgemeinen Begriffe *) Wie solche Produkte, welche allerdings auch eine mannigfache Anwen-
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Das eingewandte Produkt. § 144
nen Elementargrössen, und diese wieder als als allgemeinere Grös-
sengattung zu den reinen Ausdehnungsgrössen auftraten, so bilden
die Beziehungsgrössen überhaupt die allgemeinste Grössengattung,
zu welcher wir auf dieser Stufe gelangen. Da zugleich auch die
reine Multiplikation als die allgemeinste Multiplikationsweise sich
darstellt, bei welcher noch die allgemeinen multiplikativen Gesetze
und namentlich auch das Zusammenfassungsgesetz fortbesteht, so
erscheint hier die theoretische Darstellung dieses Theils der Aus-
dehnungslehre als vollendet, insofern man nicht auch die Multipli-
kationsweisen in Betracht ziehen will, für welche das Zusammen-
fassungsgesetz nicht mehr gilt. *) Wir schreiten daher zu den An-
wendungen, und behalten dem folgenden Kapitel nur noch die spe-
cielle Behandlung der Verwandtschaftsverhältnisse vor, welche am
geeignetsten erscheint, um die in diesem Theile gewonnenen Er-
gebnisse in einander zu verflechten, und ihre gegenseitigen Be-
ziehungen ans Licht treten zu lassen.
§ 144. Zunächst ergeben sich aus dem allgemeinen Begriffe
für die Geometrie folgende Resultate: Das Produkt zweier Linien-
grössen in der Ebene ist der Durchschnittspunkt beider Linien, ver-
bunden mit einem Theil jener Ebene als Faktor; sind z. B. ab und
ac, wo a, b, c Punkte vorstellen, die beiden Liniengrössen, so ist
ihr Produkt abc . a; ferner das Produkt dreier Liniengrössen in der
Ebene ist gleich dem zweimal als Faktor gesetzten doppelten Flä-
cheninhalt des von den Linien eingeschlossenen Dreiecks, multipli-
cirt mit dem Produkt der drei Quotienten, welche ausdrücken, wie
oft jede Seite in der zugehörigen Liniengrösse enthalten ist; denn
sind a, b, c jene 3 Punkte, und mab, nac, pbc, wo m, n, p Zahl-
grössen sind, die drei Liniengrössen, so ist das Produkt derselben
gleich
[FORMEL] Das Produkt zweier Plangrössen im Raume ist ein Theil der Durch-
schnittskante multiplicirt mit einem Theil des Raumes, z. B. abc . abd
= abcd . ab, ferner das Produkt dreier Plangrössen ist der Durch-
*) Wie solche Produkte, welche allerdings auch eine mannigfache Anwen-
dung gestatten, zu behandeln seien, habe ich am Schlusse des Werkes anzudeu-
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