Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

§ 143 Grössen in Bezug auf ein Doppelsystem.

wickelt sich eine Reihe neuer Begriffe, von denen ich die wichtig
sten hier kurz zusammenstellen will. Wir können die Vereinigung
zweier solcher Systeme, von denen das eine dem andern unterge-
ordnet ist, ein Doppelsystem nennen, und sagen, eine Grösse sei
diesem Doppelsystem eingeordnet, wenn sie dem einen der beiden
Systeme, aus denen das Doppelsystem besteht, übergeordnet, dem
andern untergeordnet ist. Wir können das höhere von den beiden
Systemen, aus denen das Doppelsystem besteht, das Obersystem,
das niedere das Untersystem nennen. Dann zeigt sich, wie ein auf
ein Doppelsystem bezügliches Produkt zweier geltenden Werthe,
die dem Doppelsystem eingeordnet sind, allemal dann, aber auch
nur dann null ist, wenn das den beiden Faktoren gemeinschaftliche
System von höherer Stufe als das Untersystem, und zugleich das
sie zunächst umfassende von niederer Stufe als das Obersystem ist,
dass ferner ein Produkt von geltendem Werthe in Bezug auf jenes
Doppelsystem als äusseres erscheint, wenn das den Faktoren ge-
meinschaftliche System das Untersystem ist, und als ein eingewand-
tes, wenn das sie zunächst umfassende System das Obersystem ist,
und dass endlich ein solches Produkt zugleich als äusseres und
eingewandtes aufgefasst werden kann, wenn beide Bedingungen zu-
gleich erfüllt sind. Zugleich erweitert sich hierdurch der Begriff
der Beziehungsgrösse, indem diese nun in der Form der Unterord-
nung als Produkt von Grössen erscheinen kann, welche 3 verschie-
dene einander eingeordnete Systeme darstellen, von denen die erste
das Obersystem, die letzte das Untersystem, und die mittlere das
eigenthümliche System der Grösse ist. Um daher den eigenthüm-
lichen Werth einer solchen Beziehungsgrösse aufzufassen, werden
zwei Masse erforderlich sein, von denen das eine dem Obersystem,
das andere dem Untersysteme zugehört; und nur in Bezug auf ein
solches Doppelmass wird diese neue Beziehungsgrösse einen be-
stimmten eigenthümlichen Werth darbieten. Da auch die Be-
ziehungsgrössen, welche sich auf ein einfaches System beziehen,
als auf ein Doppelsystem bezügliche angesehen werden können,
dessen Untersystem von nullter Stufe ist, so zeigt sich, dass die
neu gewonnene Grössengattung von allgemeinerer Natur ist und
jene erstere als besondere Gattung unter sich begreift. Da ferner
die Beziehungsgrössen als allgemeinere Grössengattung zu den rei-