Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

Das eingewandte Produkt. § 142

und nur dann null sei, wenn sich eine derselben als Vielfachen-
summe der übrigen darstellen liess; und ehe wir diesen Satz nicht
auf unser Gebiet übertragen haben, ist die Analogie noch nicht
vollständig. Dass ein Produkt von Grössen (n—1)-ter Stufe dann
allemal null sei, wenn eine derselben als Vielfachensumme der
andern darstellbar ist, erhellt sogleich aus dem Gesetze des Durch-
multiplicirens, wenn man zugleich festhält, dass das Produkt zweier
gleichartiger Grössen (n—1)-ter Stufe null ist. Um zu beweisen,
dass das Produkt auch nur dann null sei, wenn sich einer der
Faktoren als Vielfachensumme der andern darstellen lässt, müssen
wir zeigen, dass, wenn zu einem geltenden Produkt von m Faktoren
(n—1)-ter Stufe in einem Hauptsysteme n-ter Stufe ein Faktor
derselben (n—1)-ten Stufe hinzutritt, welcher das Produkt null
macht, sich dieser als Vielfachensumme der ersteren darstellen
lässt. Dass ein Produkt aus mehr als n Faktoren dieser Art null
wird, liegt schon in dem allgemeinen Satze § 138, ergiebt sich aber
auch schon sogleich aus dem vorher bewiesenen Satze. Wenn fer-
ner zu n solchen Faktoren, deren Produkt einen geltenden Werth
hat, ein Faktor derselben Stufe hinzukommt, so wird dieser eines-
theils das Produkt immer null machen, anderntheils sich als Viel-
fachensumme jener n Faktoren darstellen lassen, wie wir oben
zeigten. Es bleibt uns also, um den Beweis unseres Satzes zu
führen, nur der Fall zu berücksichtigen übrig, dass die Anzahl der
Faktoren (m) kleiner ist, als die Stufe des Hauptsystemes (n). In
diesem Falle können wir zur Führung des Beweises (n—m) Fak-
toren (n—1)-ter Stufe zu Hülfe nehmen, welche mit den gegebe-
nen m Faktoren ein Produkt von geltendem Werthe liefern. Dann
wird sich der Faktor (n—1)-ter Stufe, welcher zu dem Produkt
der m gegebenen Faktoren (P) hinzutreten und dasselbe null machen
soll, nach dem vorher bewiesenen Satze als Vielfachensumme der
sämmtlichen n Grössen, deren Produkt geltenden Werth hat, dar-
stellen lassen, d. h. als Summe, deren eines Stück A eine Viel-
fachensumme der gegebenen m Faktoren, und deren anderes Stück
(B) eine Vielfachensumme der zu Hülfe genommenen Faktoren ist,
und zu beweisen bleibt, dass dies zweite Stück null sei. Multi-
pliciren wir nun das Produkt der m gegebenen Faktoren P mit
dieser Summe (A + B), so können wir das erste Stück (A) weg-