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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 142 Vollständige Analogie zwischen äusserer u. eingewandter Mult.
lassen, da es als Vielfachensumme von den ersten m Faktoren er-
scheint, also mit ihnen multiplicirt null giebt. Da nun das Pro-
dukt jener Summe und der m gegebenen Faktoren null betragen
sollte, also P . (A + B) = 0 sein sollte, so folgt jetzt, dass das Pro-
dukt ihres zweiten Stückes in die m gegebenen Faktoren auch null
sein müsse; also
[Formel 1] Dies zweite Stück B ist aber eine Vielfachensumme der zu Hülfe
genommenen (n -- m) Faktoren; und wir können zeigen, dass die
Koefficienten dieser Vielfachensumme sämmtlich null betragen müs-
sen, sie selbst also null sei. Zu dem Ende multiplicire man statt
mit der Vielfachensumme B mit ihren Stücken, so erhält man eine
Vielfachensumme mit denselben Koefficienten, und zwar enthält je-
des Glied ausser den m gegebenen Faktoren einen von den zu
Hülfe genommenen. Um nun zu beweisen, dass der Koefficient zu
irgend einem solchen Gliede null sei, hat man nur noch mit den-
jenigen (n--m--1) von den zu Hülfe genommenen Faktoren, wel-
che diesem Gliede fehlen, beide Seiten der obigen Gleichung, oder
vielmehr deren Glieder zu multipliciren, so ist klar, dass dann alle
jene Glieder ausser dem einen wegfallen, und die Gleichung dann
aussagt, dass dies Glied, also auch sein Koefficient null sei. Es
sind somit sämmtliche Koefficienten der Vielfachensumme B null,
also sie selbst null; also der hinzutretende Faktor, welcher gleich
A + B gesetzt war, gleich A, d. h. eine Vielfachensumme der m
gegebenen Faktoren, was wir beweisen wollten. Fassen wir daher
die gewonnenen Resultate zusammen, so gelangen wir zu dem Satze:

"Ein Produkt von Grössen (n--1)ter Stufe in Bezug auf ein
Hauptsystem n-ter Stufe ist dann und nur dann null, wenn
sich eine derselben als Vielfachensumme der übrigen darstel-
len lässt."

Durch dies Gesetz ist nun die Analogie zwischen eingewandter
und äusserer Multiplikation, sobald das Beziehungssystem ein und
dasselbe ist und zugleich das Hauptsystem darstellt, dem alle in
Betracht gezogenen Grössen angehören, vollendet. Und alle Ge-
setze der äusseren Multiplikation, so weit die nachgewiesene Ana-
logie reicht, d. h. welche auf die allgemeinen Verknüpfungsbegriffe,
oder auf die Begriffe von Ueberordnung und Unterordnung der

§ 142 Vollständige Analogie zwischen äusserer u. eingewandter Mult.
lassen, da es als Vielfachensumme von den ersten m Faktoren er-
scheint, also mit ihnen multiplicirt null giebt. Da nun das Pro-
dukt jener Summe und der m gegebenen Faktoren null betragen
sollte, also P . (A + B) = 0 sein sollte, so folgt jetzt, dass das Pro-
dukt ihres zweiten Stückes in die m gegebenen Faktoren auch null
sein müsse; also
[Formel 1] Dies zweite Stück B ist aber eine Vielfachensumme der zu Hülfe
genommenen (n — m) Faktoren; und wir können zeigen, dass die
Koefficienten dieser Vielfachensumme sämmtlich null betragen müs-
sen, sie selbst also null sei. Zu dem Ende multiplicire man statt
mit der Vielfachensumme B mit ihren Stücken, so erhält man eine
Vielfachensumme mit denselben Koefficienten, und zwar enthält je-
des Glied ausser den m gegebenen Faktoren einen von den zu
Hülfe genommenen. Um nun zu beweisen, dass der Koefficient zu
irgend einem solchen Gliede null sei, hat man nur noch mit den-
jenigen (n—m—1) von den zu Hülfe genommenen Faktoren, wel-
che diesem Gliede fehlen, beide Seiten der obigen Gleichung, oder
vielmehr deren Glieder zu multipliciren, so ist klar, dass dann alle
jene Glieder ausser dem einen wegfallen, und die Gleichung dann
aussagt, dass dies Glied, also auch sein Koefficient null sei. Es
sind somit sämmtliche Koefficienten der Vielfachensumme B null,
also sie selbst null; also der hinzutretende Faktor, welcher gleich
A + B gesetzt war, gleich A, d. h. eine Vielfachensumme der m
gegebenen Faktoren, was wir beweisen wollten. Fassen wir daher
die gewonnenen Resultate zusammen, so gelangen wir zu dem Satze:

„Ein Produkt von Grössen (n—1)ter Stufe in Bezug auf ein
Hauptsystem n-ter Stufe ist dann und nur dann null, wenn
sich eine derselben als Vielfachensumme der übrigen darstel-
len lässt.“

Durch dies Gesetz ist nun die Analogie zwischen eingewandter
und äusserer Multiplikation, sobald das Beziehungssystem ein und
dasselbe ist und zugleich das Hauptsystem darstellt, dem alle in
Betracht gezogenen Grössen angehören, vollendet. Und alle Ge-
setze der äusseren Multiplikation, so weit die nachgewiesene Ana-
logie reicht, d. h. welche auf die allgemeinen Verknüpfungsbegriffe,
oder auf die Begriffe von Ueberordnung und Unterordnung der

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[219/0255] § 142 Vollständige Analogie zwischen äusserer u. eingewandter Mult. lassen, da es als Vielfachensumme von den ersten m Faktoren er- scheint, also mit ihnen multiplicirt null giebt. Da nun das Pro- dukt jener Summe und der m gegebenen Faktoren null betragen sollte, also P . (A + B) = 0 sein sollte, so folgt jetzt, dass das Pro- dukt ihres zweiten Stückes in die m gegebenen Faktoren auch null sein müsse; also [FORMEL] Dies zweite Stück B ist aber eine Vielfachensumme der zu Hülfe genommenen (n — m) Faktoren; und wir können zeigen, dass die Koefficienten dieser Vielfachensumme sämmtlich null betragen müs- sen, sie selbst also null sei. Zu dem Ende multiplicire man statt mit der Vielfachensumme B mit ihren Stücken, so erhält man eine Vielfachensumme mit denselben Koefficienten, und zwar enthält je- des Glied ausser den m gegebenen Faktoren einen von den zu Hülfe genommenen. Um nun zu beweisen, dass der Koefficient zu irgend einem solchen Gliede null sei, hat man nur noch mit den- jenigen (n—m—1) von den zu Hülfe genommenen Faktoren, wel- che diesem Gliede fehlen, beide Seiten der obigen Gleichung, oder vielmehr deren Glieder zu multipliciren, so ist klar, dass dann alle jene Glieder ausser dem einen wegfallen, und die Gleichung dann aussagt, dass dies Glied, also auch sein Koefficient null sei. Es sind somit sämmtliche Koefficienten der Vielfachensumme B null, also sie selbst null; also der hinzutretende Faktor, welcher gleich A + B gesetzt war, gleich A, d. h. eine Vielfachensumme der m gegebenen Faktoren, was wir beweisen wollten. Fassen wir daher die gewonnenen Resultate zusammen, so gelangen wir zu dem Satze: „Ein Produkt von Grössen (n—1)ter Stufe in Bezug auf ein Hauptsystem n-ter Stufe ist dann und nur dann null, wenn sich eine derselben als Vielfachensumme der übrigen darstel- len lässt.“ Durch dies Gesetz ist nun die Analogie zwischen eingewandter und äusserer Multiplikation, sobald das Beziehungssystem ein und dasselbe ist und zugleich das Hauptsystem darstellt, dem alle in Betracht gezogenen Grössen angehören, vollendet. Und alle Ge- setze der äusseren Multiplikation, so weit die nachgewiesene Ana- logie reicht, d. h. welche auf die allgemeinen Verknüpfungsbegriffe, oder auf die Begriffe von Ueberordnung und Unterordnung der

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 219. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/255>, abgerufen am 13.05.2024.