Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 142 Abhängigkeit zwisch. Grössen (n--1)-ter St. in e. Syst. n-ter St. sich aus § 138. Nämlich nach dem angeführten Paragraphen wer-den je (n--1) von den n Faktoren, welche die im Satze ausge- sprochene Beschaffenheit haben, als gemeinschaftliches System ein System erster Stufe haben, während alle n Faktoren kein System von geltender Stufe gemeinschaftlich haben dürfen, wenn das Pro- dukt einen geltenden Werth haben soll. Es wird also im Ganzen n solcher Systeme erster Stufe geben, wovon immer je (n--1) ei- nem der n Faktoren untergeordnet sind. Diese n Systeme erster Stufe müssen aber von einander unabhängig sein; denn wäre eins derselben von den übrigen (n--1) abhängig, so müsste es in dem durch sie bedingten Systeme liegen (nach dem ursprünglichen Be- griffe des Systems); es sind aber diese übrigen einem der n Fak- toren untergeordnet, folglich müsste auch jenes erste System die- sem Faktor untergeordnet sein; es ist aber jenes erste System das den übrigen (n--1) Faktoren gemeinschaftliche System, folglich würde dies System allen n Faktoren gemeinschaftlich sein, also das Produkt nach § 138 null sein gegen die Voraussetzung. Es sind also in der That jene n Systeme erster Stufe von einander unab- hängig. Nehmen wir nun n beliebige Grössen erster St. an, wel- che diesen Systemen angehören, und also gleichfalls von einander unabhängig sind, so wird zuerst jeder der gegebenen n Faktoren, da ihm (n--1) jener Grössen erster Stufe untergeordnet sind, und er selbst von (n--1)-ter Stufe ist, sich als Vielfaches von dem äusseren Produkte jener Grössen darstellen lassen, ferner wird jede Grösse erster Stufe, welche dem Hauptsysteme (n-ter Stufe) angehört, sich als Vielfachensumme jener n Grössen erster Stufe, also auch jede Grösse (n--1)-ter Stufe, die jenem Hauptsysteme angehört, sich als äusseres Produkt aus (n--1) solchen Vielfachen- summen darstellen lassen. Das Produkt dieser (n--1) Vielfachen- summen verwandelt sich aber beim Durchmultipliciren in eine Viel- fachensumme von äusseren Produkten zu (n--1) Faktoren aus je- nen n Grössen erster Stufe, folglich auch, da diese Produkte den n gegebenen Faktoren gleichartig sind, in eine Vielfachensumme dieser Faktoren. Wir haben also den oben ausgesprochenen Satz bewiesen. Doch ist damit noch nicht unsere Aufgabe gelöst. Viel- mehr beruhte das Wesen der äusseren Multiplikation als äusserer auf dem Satze, dass ein Produkt von Grössen erster Stufe dann § 142 Abhängigkeit zwisch. Grössen (n—1)-ter St. in e. Syst. n-ter St. sich aus § 138. Nämlich nach dem angeführten Paragraphen wer-den je (n—1) von den n Faktoren, welche die im Satze ausge- sprochene Beschaffenheit haben, als gemeinschaftliches System ein System erster Stufe haben, während alle n Faktoren kein System von geltender Stufe gemeinschaftlich haben dürfen, wenn das Pro- dukt einen geltenden Werth haben soll. Es wird also im Ganzen n solcher Systeme erster Stufe geben, wovon immer je (n—1) ei- nem der n Faktoren untergeordnet sind. Diese n Systeme erster Stufe müssen aber von einander unabhängig sein; denn wäre eins derselben von den übrigen (n—1) abhängig, so müsste es in dem durch sie bedingten Systeme liegen (nach dem ursprünglichen Be- griffe des Systems); es sind aber diese übrigen einem der n Fak- toren untergeordnet, folglich müsste auch jenes erste System die- sem Faktor untergeordnet sein; es ist aber jenes erste System das den übrigen (n—1) Faktoren gemeinschaftliche System, folglich würde dies System allen n Faktoren gemeinschaftlich sein, also das Produkt nach § 138 null sein gegen die Voraussetzung. Es sind also in der That jene n Systeme erster Stufe von einander unab- hängig. Nehmen wir nun n beliebige Grössen erster St. an, wel- che diesen Systemen angehören, und also gleichfalls von einander unabhängig sind, so wird zuerst jeder der gegebenen n Faktoren, da ihm (n—1) jener Grössen erster Stufe untergeordnet sind, und er selbst von (n—1)-ter Stufe ist, sich als Vielfaches von dem äusseren Produkte jener Grössen darstellen lassen, ferner wird jede Grösse erster Stufe, welche dem Hauptsysteme (n-ter Stufe) angehört, sich als Vielfachensumme jener n Grössen erster Stufe, also auch jede Grösse (n—1)-ter Stufe, die jenem Hauptsysteme angehört, sich als äusseres Produkt aus (n—1) solchen Vielfachen- summen darstellen lassen. Das Produkt dieser (n—1) Vielfachen- summen verwandelt sich aber beim Durchmultipliciren in eine Viel- fachensumme von äusseren Produkten zu (n—1) Faktoren aus je- nen n Grössen erster Stufe, folglich auch, da diese Produkte den n gegebenen Faktoren gleichartig sind, in eine Vielfachensumme dieser Faktoren. Wir haben also den oben ausgesprochenen Satz bewiesen. Doch ist damit noch nicht unsere Aufgabe gelöst. Viel- mehr beruhte das Wesen der äusseren Multiplikation als äusserer auf dem Satze, dass ein Produkt von Grössen erster Stufe dann <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0253" n="217"/><fw place="top" type="header">§ 142 Abhängigkeit zwisch. Grössen (n—1)-ter St. in e. Syst. n-ter St.</fw><lb/> sich aus § 138. Nämlich nach dem angeführten Paragraphen wer-<lb/> den je (n—1) von den n Faktoren, welche die im Satze ausge-<lb/> sprochene Beschaffenheit haben, als gemeinschaftliches System ein<lb/> System erster Stufe haben, während alle n Faktoren kein System<lb/> von geltender Stufe gemeinschaftlich haben dürfen, wenn das Pro-<lb/> dukt einen geltenden Werth haben soll. Es wird also im Ganzen<lb/> n solcher Systeme erster Stufe geben, wovon immer je (n—1) ei-<lb/> nem der n Faktoren untergeordnet sind. 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§ 142 Abhängigkeit zwisch. Grössen (n—1)-ter St. in e. Syst. n-ter St.
sich aus § 138. Nämlich nach dem angeführten Paragraphen wer-
den je (n—1) von den n Faktoren, welche die im Satze ausge-
sprochene Beschaffenheit haben, als gemeinschaftliches System ein
System erster Stufe haben, während alle n Faktoren kein System
von geltender Stufe gemeinschaftlich haben dürfen, wenn das Pro-
dukt einen geltenden Werth haben soll. Es wird also im Ganzen
n solcher Systeme erster Stufe geben, wovon immer je (n—1) ei-
nem der n Faktoren untergeordnet sind. Diese n Systeme erster
Stufe müssen aber von einander unabhängig sein; denn wäre eins
derselben von den übrigen (n—1) abhängig, so müsste es in dem
durch sie bedingten Systeme liegen (nach dem ursprünglichen Be-
griffe des Systems); es sind aber diese übrigen einem der n Fak-
toren untergeordnet, folglich müsste auch jenes erste System die-
sem Faktor untergeordnet sein; es ist aber jenes erste System das
den übrigen (n—1) Faktoren gemeinschaftliche System, folglich
würde dies System allen n Faktoren gemeinschaftlich sein, also das
Produkt nach § 138 null sein gegen die Voraussetzung. Es sind
also in der That jene n Systeme erster Stufe von einander unab-
hängig. Nehmen wir nun n beliebige Grössen erster St. an, wel-
che diesen Systemen angehören, und also gleichfalls von einander
unabhängig sind, so wird zuerst jeder der gegebenen n Faktoren,
da ihm (n—1) jener Grössen erster Stufe untergeordnet sind, und
er selbst von (n—1)-ter Stufe ist, sich als Vielfaches von dem
äusseren Produkte jener Grössen darstellen lassen, ferner wird
jede Grösse erster Stufe, welche dem Hauptsysteme (n-ter Stufe)
angehört, sich als Vielfachensumme jener n Grössen erster Stufe,
also auch jede Grösse (n—1)-ter Stufe, die jenem Hauptsysteme
angehört, sich als äusseres Produkt aus (n—1) solchen Vielfachen-
summen darstellen lassen. Das Produkt dieser (n—1) Vielfachen-
summen verwandelt sich aber beim Durchmultipliciren in eine Viel-
fachensumme von äusseren Produkten zu (n—1) Faktoren aus je-
nen n Grössen erster Stufe, folglich auch, da diese Produkte den
n gegebenen Faktoren gleichartig sind, in eine Vielfachensumme
dieser Faktoren. Wir haben also den oben ausgesprochenen Satz
bewiesen. Doch ist damit noch nicht unsere Aufgabe gelöst. Viel-
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| Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 217. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/253>, abgerufen am 13.05.2024. |
