Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 142 Abhängigkeit zwisch. Grössen (n--1)-ter St. in e. Syst. n-ter St. sich aus § 138. Nämlich nach dem angeführten Paragraphen wer-den je (n--1) von den n Faktoren, welche die im Satze ausge- sprochene Beschaffenheit haben, als gemeinschaftliches System ein System erster Stufe haben, während alle n Faktoren kein System von geltender Stufe gemeinschaftlich haben dürfen, wenn das Pro- dukt einen geltenden Werth haben soll. Es wird also im Ganzen n solcher Systeme erster Stufe geben, wovon immer je (n--1) ei- nem der n Faktoren untergeordnet sind. Diese n Systeme erster Stufe müssen aber von einander unabhängig sein; denn wäre eins derselben von den übrigen (n--1) abhängig, so müsste es in dem durch sie bedingten Systeme liegen (nach dem ursprünglichen Be- griffe des Systems); es sind aber diese übrigen einem der n Fak- toren untergeordnet, folglich müsste auch jenes erste System die- sem Faktor untergeordnet sein; es ist aber jenes erste System das den übrigen (n--1) Faktoren gemeinschaftliche System, folglich würde dies System allen n Faktoren gemeinschaftlich sein, also das Produkt nach § 138 null sein gegen die Voraussetzung. Es sind also in der That jene n Systeme erster Stufe von einander unab- hängig. Nehmen wir nun n beliebige Grössen erster St. an, wel- che diesen Systemen angehören, und also gleichfalls von einander unabhängig sind, so wird zuerst jeder der gegebenen n Faktoren, da ihm (n--1) jener Grössen erster Stufe untergeordnet sind, und er selbst von (n--1)-ter Stufe ist, sich als Vielfaches von dem äusseren Produkte jener Grössen darstellen lassen, ferner wird jede Grösse erster Stufe, welche dem Hauptsysteme (n-ter Stufe) angehört, sich als Vielfachensumme jener n Grössen erster Stufe, also auch jede Grösse (n--1)-ter Stufe, die jenem Hauptsysteme angehört, sich als äusseres Produkt aus (n--1) solchen Vielfachen- summen darstellen lassen. Das Produkt dieser (n--1) Vielfachen- summen verwandelt sich aber beim Durchmultipliciren in eine Viel- fachensumme von äusseren Produkten zu (n--1) Faktoren aus je- nen n Grössen erster Stufe, folglich auch, da diese Produkte den n gegebenen Faktoren gleichartig sind, in eine Vielfachensumme dieser Faktoren. Wir haben also den oben ausgesprochenen Satz bewiesen. Doch ist damit noch nicht unsere Aufgabe gelöst. Viel- mehr beruhte das Wesen der äusseren Multiplikation als äusserer auf dem Satze, dass ein Produkt von Grössen erster Stufe dann § 142 Abhängigkeit zwisch. Grössen (n—1)-ter St. in e. Syst. n-ter St. sich aus § 138. Nämlich nach dem angeführten Paragraphen wer-den je (n—1) von den n Faktoren, welche die im Satze ausge- sprochene Beschaffenheit haben, als gemeinschaftliches System ein System erster Stufe haben, während alle n Faktoren kein System von geltender Stufe gemeinschaftlich haben dürfen, wenn das Pro- dukt einen geltenden Werth haben soll. Es wird also im Ganzen n solcher Systeme erster Stufe geben, wovon immer je (n—1) ei- nem der n Faktoren untergeordnet sind. Diese n Systeme erster Stufe müssen aber von einander unabhängig sein; denn wäre eins derselben von den übrigen (n—1) abhängig, so müsste es in dem durch sie bedingten Systeme liegen (nach dem ursprünglichen Be- griffe des Systems); es sind aber diese übrigen einem der n Fak- toren untergeordnet, folglich müsste auch jenes erste System die- sem Faktor untergeordnet sein; es ist aber jenes erste System das den übrigen (n—1) Faktoren gemeinschaftliche System, folglich würde dies System allen n Faktoren gemeinschaftlich sein, also das Produkt nach § 138 null sein gegen die Voraussetzung. Es sind also in der That jene n Systeme erster Stufe von einander unab- hängig. Nehmen wir nun n beliebige Grössen erster St. an, wel- che diesen Systemen angehören, und also gleichfalls von einander unabhängig sind, so wird zuerst jeder der gegebenen n Faktoren, da ihm (n—1) jener Grössen erster Stufe untergeordnet sind, und er selbst von (n—1)-ter Stufe ist, sich als Vielfaches von dem äusseren Produkte jener Grössen darstellen lassen, ferner wird jede Grösse erster Stufe, welche dem Hauptsysteme (n-ter Stufe) angehört, sich als Vielfachensumme jener n Grössen erster Stufe, also auch jede Grösse (n—1)-ter Stufe, die jenem Hauptsysteme angehört, sich als äusseres Produkt aus (n—1) solchen Vielfachen- summen darstellen lassen. Das Produkt dieser (n—1) Vielfachen- summen verwandelt sich aber beim Durchmultipliciren in eine Viel- fachensumme von äusseren Produkten zu (n—1) Faktoren aus je- nen n Grössen erster Stufe, folglich auch, da diese Produkte den n gegebenen Faktoren gleichartig sind, in eine Vielfachensumme dieser Faktoren. Wir haben also den oben ausgesprochenen Satz bewiesen. Doch ist damit noch nicht unsere Aufgabe gelöst. Viel- mehr beruhte das Wesen der äusseren Multiplikation als äusserer auf dem Satze, dass ein Produkt von Grössen erster Stufe dann <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0253" n="217"/><fw place="top" type="header">§ 142 Abhängigkeit zwisch. Grössen (n—1)-ter St. in e. Syst. n-ter St.</fw><lb/> sich aus § 138. Nämlich nach dem angeführten Paragraphen wer-<lb/> den je (n—1) von den n Faktoren, welche die im Satze ausge-<lb/> sprochene Beschaffenheit haben, als gemeinschaftliches System ein<lb/> System erster Stufe haben, während alle n Faktoren kein System<lb/> von geltender Stufe gemeinschaftlich haben dürfen, wenn das Pro-<lb/> dukt einen geltenden Werth haben soll. Es wird also im Ganzen<lb/> n solcher Systeme erster Stufe geben, wovon immer je (n—1) ei-<lb/> nem der n Faktoren untergeordnet sind. Diese n Systeme erster<lb/> Stufe müssen aber von einander unabhängig sein; denn wäre eins<lb/> derselben von den übrigen (n—1) abhängig, so müsste es in dem<lb/> durch sie bedingten Systeme liegen (nach dem ursprünglichen Be-<lb/> griffe des Systems); es sind aber diese übrigen einem der n Fak-<lb/> toren untergeordnet, folglich müsste auch jenes erste System die-<lb/> sem Faktor untergeordnet sein; es ist aber jenes erste System das<lb/> den übrigen (n—1) Faktoren gemeinschaftliche System, folglich<lb/> würde dies System allen n Faktoren gemeinschaftlich sein, also das<lb/> Produkt nach § 138 null sein gegen die Voraussetzung. Es sind<lb/> also in der That jene n Systeme erster Stufe von einander unab-<lb/> hängig. Nehmen wir nun n beliebige Grössen erster St. an, wel-<lb/> che diesen Systemen angehören, und also gleichfalls von einander<lb/> unabhängig sind, so wird zuerst jeder der gegebenen n Faktoren,<lb/> da ihm (n—1) jener Grössen erster Stufe untergeordnet sind, und<lb/> er selbst von (n—1)-ter Stufe ist, sich als Vielfaches von dem<lb/> äusseren Produkte jener Grössen darstellen lassen, ferner wird<lb/> jede Grösse erster Stufe, welche dem Hauptsysteme (n-ter Stufe)<lb/> angehört, sich als Vielfachensumme jener n Grössen erster Stufe,<lb/> also auch jede Grösse (n—1)-ter Stufe, die jenem Hauptsysteme<lb/> angehört, sich als äusseres Produkt aus (n—1) solchen Vielfachen-<lb/> summen darstellen lassen. Das Produkt dieser (n—1) Vielfachen-<lb/> summen verwandelt sich aber beim Durchmultipliciren in eine Viel-<lb/> fachensumme von äusseren Produkten zu (n—1) Faktoren aus je-<lb/> nen n Grössen erster Stufe, folglich auch, da diese Produkte den<lb/> n gegebenen Faktoren gleichartig sind, in eine Vielfachensumme<lb/> dieser Faktoren. Wir haben also den oben ausgesprochenen Satz<lb/> bewiesen. Doch ist damit noch nicht unsere Aufgabe gelöst. Viel-<lb/> mehr beruhte das Wesen der äusseren Multiplikation als äusserer<lb/> auf dem Satze, dass ein Produkt von Grössen erster Stufe dann<lb/></p> </div> </div> </body> </text> </TEI> [217/0253]
§ 142 Abhängigkeit zwisch. Grössen (n—1)-ter St. in e. Syst. n-ter St.
sich aus § 138. Nämlich nach dem angeführten Paragraphen wer-
den je (n—1) von den n Faktoren, welche die im Satze ausge-
sprochene Beschaffenheit haben, als gemeinschaftliches System ein
System erster Stufe haben, während alle n Faktoren kein System
von geltender Stufe gemeinschaftlich haben dürfen, wenn das Pro-
dukt einen geltenden Werth haben soll. Es wird also im Ganzen
n solcher Systeme erster Stufe geben, wovon immer je (n—1) ei-
nem der n Faktoren untergeordnet sind. Diese n Systeme erster
Stufe müssen aber von einander unabhängig sein; denn wäre eins
derselben von den übrigen (n—1) abhängig, so müsste es in dem
durch sie bedingten Systeme liegen (nach dem ursprünglichen Be-
griffe des Systems); es sind aber diese übrigen einem der n Fak-
toren untergeordnet, folglich müsste auch jenes erste System die-
sem Faktor untergeordnet sein; es ist aber jenes erste System das
den übrigen (n—1) Faktoren gemeinschaftliche System, folglich
würde dies System allen n Faktoren gemeinschaftlich sein, also das
Produkt nach § 138 null sein gegen die Voraussetzung. Es sind
also in der That jene n Systeme erster Stufe von einander unab-
hängig. Nehmen wir nun n beliebige Grössen erster St. an, wel-
che diesen Systemen angehören, und also gleichfalls von einander
unabhängig sind, so wird zuerst jeder der gegebenen n Faktoren,
da ihm (n—1) jener Grössen erster Stufe untergeordnet sind, und
er selbst von (n—1)-ter Stufe ist, sich als Vielfaches von dem
äusseren Produkte jener Grössen darstellen lassen, ferner wird
jede Grösse erster Stufe, welche dem Hauptsysteme (n-ter Stufe)
angehört, sich als Vielfachensumme jener n Grössen erster Stufe,
also auch jede Grösse (n—1)-ter Stufe, die jenem Hauptsysteme
angehört, sich als äusseres Produkt aus (n—1) solchen Vielfachen-
summen darstellen lassen. Das Produkt dieser (n—1) Vielfachen-
summen verwandelt sich aber beim Durchmultipliciren in eine Viel-
fachensumme von äusseren Produkten zu (n—1) Faktoren aus je-
nen n Grössen erster Stufe, folglich auch, da diese Produkte den
n gegebenen Faktoren gleichartig sind, in eine Vielfachensumme
dieser Faktoren. Wir haben also den oben ausgesprochenen Satz
bewiesen. Doch ist damit noch nicht unsere Aufgabe gelöst. Viel-
mehr beruhte das Wesen der äusseren Multiplikation als äusserer
auf dem Satze, dass ein Produkt von Grössen erster Stufe dann
Suche im WerkInformationen zum Werk
Download dieses Werks
XML (TEI P5) ·
HTML ·
Text Metadaten zum WerkTEI-Header · CMDI · Dublin Core Ansichten dieser Seite
Voyant Tools
|
| URL zu diesem Werk: | https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844 |
| URL zu dieser Seite: | https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/253 |
| Zitationshilfe: | Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 217. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/253>, abgerufen am 22.11.2024. |
