Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

Das eingewandte Produkt. § 142

zurückgehen, auch für die eingewandte auf ein festes Hauptsystem
bezügliche Multiplikation gelten, wenn man statt des Begriffs der
Stufenzahl den der Ergänzzahl, und statt des Begriffs des gemein-
schaftlichen Systems den des nächstumfassenden einführt und um-
gekehrt. Sofern daher der Begriff der Abhängigkeit, auf den alle
besonderen Gesetze der äusseren Multiplikation, als auf ihre Wur-
zel, gegründet sind, durch den des gemeinschaftlichen oder nächst-
umfassenden Systemes bestimmt ist, werden die Gesetse der äus-
seren Multiplikation sich auch auf die reine eingewandte nach je-
nem Princip übertragen lassen. Aber der Begriff der Abhängig-
keit, welcher zuerst bei Grössen erster Stufe hervortrat, wurde
ursprünglich ganz anders bestimmt, und viele später entwickelten
Gesetze gründen sich auf diese ursprüngliche Bestimmung. Näm-
lich es wurde ursprünglich eine Grösse erster Stufe dann als ab-
hängig von einer Reihe solcher Grössen dargestellt, wenn sich jene
als Summe von Stücken ausdrücken lassen, welche diesen gleich-
artig sind, oder, wie wir es späterhin ausdrückten, wenn sich jene
als Vielfachensumme von diesen darstellen lässt; und so nannten
wir überhaupt mehrere Grössen erster Stufe von einander abhän-
gig, wenn sich eine derselben als Vielfachensumme der übrigen
darstellen lässt, und erst daraus folgte dann vermittelst des ur-
sprünglichen Begriffs des Systemes, dass n Grössen erster Stufe
dann und nur dann von einander abhängig sind, wenn sie von ei-
nem Systeme von niederer als der n-ten Stufe umfasst werden, und
vermittelst des Begriffs der äusseren Multiplikation, dass das Pro-
dukt abhängiger Grössen, aber auch nur ein solches, null sei.
Wir müssen daher zu jener ursprünglichen Bestimmung auf un-
serm Gebiete das analoge suchen. Wenn zuerst in einem Systeme
n-ter Stufe n Grössen erster Stufe gegeben waren, deren äusseres
Produkt nicht null ist, so zeigte sich, dass jede andere Grösse er-
ster Stufe, die diesem Systeme angehört, sich als Vielfachensumme
jener ersteren darstellen lässt. Der analoge Satz würde hier lau-
ten: „Wenn in einem Systeme n-ter Stufe n Grössen (n—1)-ter
Stufe gegeben sind, deren eingewandtes auf jenes System bezüg-
liche Produkt nicht null ist, so lässt sich jede andere Grösse
(n—1)-ter Stufe, welche diesem Systeme angehört, als Vielfachen-
summe der ersteren darstellen.“ Der Beweis dieses Satzes ergiebt