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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 142 Division der Beziehungsgrössen.
nicht, so ist der Quotient unendlich. In jedem andern Falle,
d. h. wenn der Divisor nicht null ist und zugleich Divisor und
Quotient beide von mittlerer Stufe sind, ist der Quotient nur
partiell bestimmt, und zwar erhält man dann aus einem be-
sondern Werthe des Quotienten den allgemeinen, indem man
den allgemeinen Ausdruck einer Grösse, die mit dem Divisor
multiplicirt null giebt, hinzuaddirt."

Ein besonderes Interesse gewähren hier noch solche Ausdrücke,
deren Dividend die Einheit ist, während der Divisor eine Grösse
von geltender Stufe darstellt, z. B. der Quotient . Ist hier abcd
oder H das Hauptmass, so ist
[Formel 2] ,
wo jede von ab abhängige Grösse zweiter Stufe darstellt.

§ 142. Um die Analogie zwischen der äusseren Multiplika-
tion und der reinen eingewandten Multiplikation zu vollenden, bleibt
uns noch eine Betrachtung übrig. Nämlich es liessen sich bei der
äusseren Multiplikation alle Grössen höherer Stufen als Produkte
der Grössen erster Stufe darstellen, und die Gesetze ihrer Ver-
knüpfung liessen sich aus den Verknüpfungsgesetzen für Grössen
erster Stufe auf rein formelle Weise ableiten. Den Grössen erster
Stufe entsprechen nach § 138 bei der eingewandten Multiplikation
Grössen, deren Ergänzzahl eins ist, d. h. Grössen (h--1)-ter Stufe,
wenn das Beziehungssystem für alle Grössen und Produkte das-
selbe, und zwar ein System von h-ter Stufe ist. Durch ihre Mul-
tiplikation entstehen nach § 138 Grössen, deren Ergänzzahlen die
Einheit übertreffen, d. h. also deren Stufenzahlen kleiner sind als
(h--1). Es kommt daher, um die vollständige Analogie nachzuwei-
sen, nur darauf an, die Analogie der Gesetze für diese Grössen er-
ster und (h--1)-ter Stufe darzuthun. Die Identität dieser Gesetze,
sofern sie nur die allgemeinen Verknüpfungsgesetze der vier Grund-
rechnungen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) dar-
stellen, haben wir nachgewiesen. Auch haben wir gezeigt, dass
die Gesetze der äusseren Multiplikation als solcher, sobald sie nur
auf den Begriff der Stufenzahl und des gemeinschaftlichen Systemes

§ 142 Division der Beziehungsgrössen.
nicht, so ist der Quotient unendlich. In jedem andern Falle,
d. h. wenn der Divisor nicht null ist und zugleich Divisor und
Quotient beide von mittlerer Stufe sind, ist der Quotient nur
partiell bestimmt, und zwar erhält man dann aus einem be-
sondern Werthe des Quotienten den allgemeinen, indem man
den allgemeinen Ausdruck einer Grösse, die mit dem Divisor
multiplicirt null giebt, hinzuaddirt.“

Ein besonderes Interesse gewähren hier noch solche Ausdrücke,
deren Dividend die Einheit ist, während der Divisor eine Grösse
von geltender Stufe darstellt, z. B. der Quotient . Ist hier abcd
oder H das Hauptmass, so ist
[Formel 2] ,
wo jede von ab abhängige Grösse zweiter Stufe darstellt.

§ 142. Um die Analogie zwischen der äusseren Multiplika-
tion und der reinen eingewandten Multiplikation zu vollenden, bleibt
uns noch eine Betrachtung übrig. Nämlich es liessen sich bei der
äusseren Multiplikation alle Grössen höherer Stufen als Produkte
der Grössen erster Stufe darstellen, und die Gesetze ihrer Ver-
knüpfung liessen sich aus den Verknüpfungsgesetzen für Grössen
erster Stufe auf rein formelle Weise ableiten. Den Grössen erster
Stufe entsprechen nach § 138 bei der eingewandten Multiplikation
Grössen, deren Ergänzzahl eins ist, d. h. Grössen (h—1)-ter Stufe,
wenn das Beziehungssystem für alle Grössen und Produkte das-
selbe, und zwar ein System von h-ter Stufe ist. Durch ihre Mul-
tiplikation entstehen nach § 138 Grössen, deren Ergänzzahlen die
Einheit übertreffen, d. h. also deren Stufenzahlen kleiner sind als
(h—1). Es kommt daher, um die vollständige Analogie nachzuwei-
sen, nur darauf an, die Analogie der Gesetze für diese Grössen er-
ster und (h—1)-ter Stufe darzuthun. Die Identität dieser Gesetze,
sofern sie nur die allgemeinen Verknüpfungsgesetze der vier Grund-
rechnungen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) dar-
stellen, haben wir nachgewiesen. Auch haben wir gezeigt, dass
die Gesetze der äusseren Multiplikation als solcher, sobald sie nur
auf den Begriff der Stufenzahl und des gemeinschaftlichen Systemes

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[215/0251] § 142 Division der Beziehungsgrössen. nicht, so ist der Quotient unendlich. In jedem andern Falle, d. h. wenn der Divisor nicht null ist und zugleich Divisor und Quotient beide von mittlerer Stufe sind, ist der Quotient nur partiell bestimmt, und zwar erhält man dann aus einem be- sondern Werthe des Quotienten den allgemeinen, indem man den allgemeinen Ausdruck einer Grösse, die mit dem Divisor multiplicirt null giebt, hinzuaddirt.“ Ein besonderes Interesse gewähren hier noch solche Ausdrücke, deren Dividend die Einheit ist, während der Divisor eine Grösse von geltender Stufe darstellt, z. B. der Quotient [FORMEL]. Ist hier abcd oder H das Hauptmass, so ist [FORMEL], wo [FORMEL] jede von ab abhängige Grösse zweiter Stufe darstellt. § 142. Um die Analogie zwischen der äusseren Multiplika- tion und der reinen eingewandten Multiplikation zu vollenden, bleibt uns noch eine Betrachtung übrig. Nämlich es liessen sich bei der äusseren Multiplikation alle Grössen höherer Stufen als Produkte der Grössen erster Stufe darstellen, und die Gesetze ihrer Ver- knüpfung liessen sich aus den Verknüpfungsgesetzen für Grössen erster Stufe auf rein formelle Weise ableiten. Den Grössen erster Stufe entsprechen nach § 138 bei der eingewandten Multiplikation Grössen, deren Ergänzzahl eins ist, d. h. Grössen (h—1)-ter Stufe, wenn das Beziehungssystem für alle Grössen und Produkte das- selbe, und zwar ein System von h-ter Stufe ist. Durch ihre Mul- tiplikation entstehen nach § 138 Grössen, deren Ergänzzahlen die Einheit übertreffen, d. h. also deren Stufenzahlen kleiner sind als (h—1). Es kommt daher, um die vollständige Analogie nachzuwei- sen, nur darauf an, die Analogie der Gesetze für diese Grössen er- ster und (h—1)-ter Stufe darzuthun. Die Identität dieser Gesetze, sofern sie nur die allgemeinen Verknüpfungsgesetze der vier Grund- rechnungen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) dar- stellen, haben wir nachgewiesen. Auch haben wir gezeigt, dass die Gesetze der äusseren Multiplikation als solcher, sobald sie nur auf den Begriff der Stufenzahl und des gemeinschaftlichen Systemes

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 215. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/251>, abgerufen am 13.05.2024.