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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 114 Die Elementargrösse in der Geometrie.
tergeordnet ist, und zwar ist die Summe dann diejenige Ele-
mentargrösse, welche mit der ersteren gleiche Ausweichung
hat, und von einem Elemente der ersteren um die letztere
abweicht."

§ 114. Nachdem wir nun die Erzeugung der Elementargrös-
sen höherer Stufen aus denen der ersten durch Multiplikation und
Addition dargestellt, und ihren Begriff durch Vergleichung mit den
Elementargrössen erster Stufe und mit den Ausdehnungsgrössen
der Anschauung näher gerückt haben, gehen wir jetzt zu den An-
wendungen auf die Geometrie und Mechanik über, in welchen jene
Begriffe sich anschaulich abbilden. Was zuerst die Geometrie be-
trifft, so ist klar, wie die gerade Linie und die Ebene als Elemen-
tarsysteme zweiter und dritter Stufe erscheinen. Der Raum selbst
aber erscheint als Elementarsystem vierter Stufe, und erst hier-
durch ist der Raum in seiner wahren Bedeutung dargestellt. Die
starre Elementargrösse liess sich am einfachsten als Produkt ei-
nes Elementes in eine Ausdehnungsgrösse darstellen, welche wir
die Ausweichung derselben nannten; und es erschien dieselbe als
die an ihr Elementarsystem gebundene Ausweichung. Betrachten
wir zuerst das Produkt (a . p) eines Punktes (a) in eine Strecke
(p), so ist p die Ausweichung dieses Produktes, die gerade Linie,
welche von a in der Richtung der Strecke p gezogen wird, das
Elementarsystem desselben, und das Produkt erscheint also als
eine Strecke, welche einen Theil einer konstanten geraden Linie
ausmacht, und an diese Linie gebunden bleibt. Wir nennen dies
Produkt, da es einen Theil einer geraden Linie bildet, Liniengrösse,
und fahren fort, die Strecke, welche an ihr erscheint, ihre Aus-
weichung zu nennen. Eben so stellt sich das Produkt (a . P) eines
Punktes (a) in einen Flächenraum von konstanter Richtung als
ein Flächenraum dar, welcher in einer konstanten Ebene liegt,
nämlich in der durch jenen Punkt in der Richtung des Flächen-
raums gelegten Ebene; wir nennen jene Grösse, da sie einen Theil
einer konstanten Ebene bildet, Ebenengrösse (vielleicht besser
Plangrösse), und jenen Flächenraum von konstanter Richtung ihre
Ausweichung. Das Produkt endlich eines Punktes in einen Kör-
perraum hat für die Geometrie, da der Raum ein Elementarsystem
vierter Stufe ist, also jeder Körperraum schon an sich an ihn

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§ 114 Die Elementargrösse in der Geometrie.
tergeordnet ist, und zwar ist die Summe dann diejenige Ele-
mentargrösse, welche mit der ersteren gleiche Ausweichung
hat, und von einem Elemente der ersteren um die letztere
abweicht.“

§ 114. Nachdem wir nun die Erzeugung der Elementargrös-
sen höherer Stufen aus denen der ersten durch Multiplikation und
Addition dargestellt, und ihren Begriff durch Vergleichung mit den
Elementargrössen erster Stufe und mit den Ausdehnungsgrössen
der Anschauung näher gerückt haben, gehen wir jetzt zu den An-
wendungen auf die Geometrie und Mechanik über, in welchen jene
Begriffe sich anschaulich abbilden. Was zuerst die Geometrie be-
trifft, so ist klar, wie die gerade Linie und die Ebene als Elemen-
tarsysteme zweiter und dritter Stufe erscheinen. Der Raum selbst
aber erscheint als Elementarsystem vierter Stufe, und erst hier-
durch ist der Raum in seiner wahren Bedeutung dargestellt. Die
starre Elementargrösse liess sich am einfachsten als Produkt ei-
nes Elementes in eine Ausdehnungsgrösse darstellen, welche wir
die Ausweichung derselben nannten; und es erschien dieselbe als
die an ihr Elementarsystem gebundene Ausweichung. Betrachten
wir zuerst das Produkt (α . p) eines Punktes (α) in eine Strecke
(p), so ist p die Ausweichung dieses Produktes, die gerade Linie,
welche von α in der Richtung der Strecke p gezogen wird, das
Elementarsystem desselben, und das Produkt erscheint also als
eine Strecke, welche einen Theil einer konstanten geraden Linie
ausmacht, und an diese Linie gebunden bleibt. Wir nennen dies
Produkt, da es einen Theil einer geraden Linie bildet, Liniengrösse,
und fahren fort, die Strecke, welche an ihr erscheint, ihre Aus-
weichung zu nennen. Eben so stellt sich das Produkt (α . P) eines
Punktes (α) in einen Flächenraum von konstanter Richtung als
ein Flächenraum dar, welcher in einer konstanten Ebene liegt,
nämlich in der durch jenen Punkt in der Richtung des Flächen-
raums gelegten Ebene; wir nennen jene Grösse, da sie einen Theil
einer konstanten Ebene bildet, Ebenengrösse (vielleicht besser
Plangrösse), und jenen Flächenraum von konstanter Richtung ihre
Ausweichung. Das Produkt endlich eines Punktes in einen Kör-
perraum hat für die Geometrie, da der Raum ein Elementarsystem
vierter Stufe ist, also jeder Körperraum schon an sich an ihn

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[163/0199] § 114 Die Elementargrösse in der Geometrie. tergeordnet ist, und zwar ist die Summe dann diejenige Ele- mentargrösse, welche mit der ersteren gleiche Ausweichung hat, und von einem Elemente der ersteren um die letztere abweicht.“ § 114. Nachdem wir nun die Erzeugung der Elementargrös- sen höherer Stufen aus denen der ersten durch Multiplikation und Addition dargestellt, und ihren Begriff durch Vergleichung mit den Elementargrössen erster Stufe und mit den Ausdehnungsgrössen der Anschauung näher gerückt haben, gehen wir jetzt zu den An- wendungen auf die Geometrie und Mechanik über, in welchen jene Begriffe sich anschaulich abbilden. Was zuerst die Geometrie be- trifft, so ist klar, wie die gerade Linie und die Ebene als Elemen- tarsysteme zweiter und dritter Stufe erscheinen. Der Raum selbst aber erscheint als Elementarsystem vierter Stufe, und erst hier- durch ist der Raum in seiner wahren Bedeutung dargestellt. Die starre Elementargrösse liess sich am einfachsten als Produkt ei- nes Elementes in eine Ausdehnungsgrösse darstellen, welche wir die Ausweichung derselben nannten; und es erschien dieselbe als die an ihr Elementarsystem gebundene Ausweichung. Betrachten wir zuerst das Produkt (α . p) eines Punktes (α) in eine Strecke (p), so ist p die Ausweichung dieses Produktes, die gerade Linie, welche von α in der Richtung der Strecke p gezogen wird, das Elementarsystem desselben, und das Produkt erscheint also als eine Strecke, welche einen Theil einer konstanten geraden Linie ausmacht, und an diese Linie gebunden bleibt. Wir nennen dies Produkt, da es einen Theil einer geraden Linie bildet, Liniengrösse, und fahren fort, die Strecke, welche an ihr erscheint, ihre Aus- weichung zu nennen. Eben so stellt sich das Produkt (α . P) eines Punktes (α) in einen Flächenraum von konstanter Richtung als ein Flächenraum dar, welcher in einer konstanten Ebene liegt, nämlich in der durch jenen Punkt in der Richtung des Flächen- raums gelegten Ebene; wir nennen jene Grösse, da sie einen Theil einer konstanten Ebene bildet, Ebenengrösse (vielleicht besser Plangrösse), und jenen Flächenraum von konstanter Richtung ihre Ausweichung. Das Produkt endlich eines Punktes in einen Kör- perraum hat für die Geometrie, da der Raum ein Elementarsystem vierter Stufe ist, also jeder Körperraum schon an sich an ihn 11 *

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 163. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/199>, abgerufen am 04.05.2024.