Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Multiplikation der Elementargrössen. § 113 gleich ist(b1 -- r) . B1 + (b2--r) . B2 + ..... + Q, so erhält man aus dieser letzten Gleichung, indem man die Klam- mern auflöst, und bemerkt, dass nun die Glieder, welche r ent- halten, sich vermöge der ersten Gleichung aufheben, die zu erwei- sende Gleichung a1 . A1 + a2 . A2 + ...... + P gleich b1 . B1 + b2 . B2 + ..... + Q. Eine specielle Folgerung dieses Satzes ist die, "dass eine Ele- mentargrösse, deren Ausweichung null ist, einer Ausdehnungsgrösse gleich ist, und von allen Elementen um gleich viel, nämlich um eben diese Ausdehnungsgrösse abweicht." Denn wenn die Abwei- chung jener Elementargrösse von irgend einem Elemente r, welche Abweichung immer nach der Definition eine Ausdehnungsgrösse darstellt, gleich P ist, so muss sie selbst gleich P sein, weil sie mit P gleiche Ausweichung nämlich null hat, und beide von dem- selben Elemente r um eine gleiche Grösse abweichen, denn die Abweichung jeder Ausdehnungsgrösse von einem beliebigen Ele- mente ist eben diese Ausdehnungsgrösse selbst; also erfolgt jene Gleichheit nach dem so eben erwiesenen Satze, und daraus fliesst dann der andere Theil des zu erweisenden Satzes unmittelbar. § 113. Wir wenden den Satz des vorigen § noch auf die Ad- Multiplikation der Elementargrössen. § 113 gleich ist(β1 — ρ) . B1 + (β2—ρ) . B2 + ..... + Q, so erhält man aus dieser letzten Gleichung, indem man die Klam- mern auflöst, und bemerkt, dass nun die Glieder, welche ρ ent- halten, sich vermöge der ersten Gleichung aufheben, die zu erwei- sende Gleichung α1 . A1 + α2 . A2 + ...... + P gleich β1 . B1 + β2 . B2 + ..... + Q. Eine specielle Folgerung dieses Satzes ist die, „dass eine Ele- mentargrösse, deren Ausweichung null ist, einer Ausdehnungsgrösse gleich ist, und von allen Elementen um gleich viel, nämlich um eben diese Ausdehnungsgrösse abweicht.“ Denn wenn die Abwei- chung jener Elementargrösse von irgend einem Elemente ρ, welche Abweichung immer nach der Definition eine Ausdehnungsgrösse darstellt, gleich P ist, so muss sie selbst gleich P sein, weil sie mit P gleiche Ausweichung nämlich null hat, und beide von dem- selben Elemente ρ um eine gleiche Grösse abweichen, denn die Abweichung jeder Ausdehnungsgrösse von einem beliebigen Ele- mente ist eben diese Ausdehnungsgrösse selbst; also erfolgt jene Gleichheit nach dem so eben erwiesenen Satze, und daraus fliesst dann der andere Theil des zu erweisenden Satzes unmittelbar. § 113. Wir wenden den Satz des vorigen § noch auf die Ad- <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0198" n="162"/><fw place="top" type="header">Multiplikation der Elementargrössen. § 113</fw><lb/> gleich ist<lb/><hi rendition="#c">(β<hi rendition="#sub">1</hi> — ρ) . B<hi rendition="#sub">1</hi> + (β<hi rendition="#sub">2</hi>—ρ) . B<hi rendition="#sub">2</hi> + ..... + Q,</hi><lb/> so erhält man aus dieser letzten Gleichung, indem man die Klam-<lb/> mern auflöst, und bemerkt, dass nun die Glieder, welche ρ ent-<lb/> halten, sich vermöge der ersten Gleichung aufheben, die zu erwei-<lb/> sende Gleichung<lb/><hi rendition="#c">α<hi rendition="#sub">1</hi> . A<hi rendition="#sub">1</hi> + α<hi rendition="#sub">2</hi> . A<hi rendition="#sub">2</hi> + ...... + P</hi><lb/> gleich<lb/><hi rendition="#c">β<hi rendition="#sub">1</hi> . B<hi rendition="#sub">1</hi> + β<hi rendition="#sub">2</hi> . 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Multiplikation der Elementargrössen. § 113
gleich ist
(β1 — ρ) . B1 + (β2—ρ) . B2 + ..... + Q,
so erhält man aus dieser letzten Gleichung, indem man die Klam-
mern auflöst, und bemerkt, dass nun die Glieder, welche ρ ent-
halten, sich vermöge der ersten Gleichung aufheben, die zu erwei-
sende Gleichung
α1 . A1 + α2 . A2 + ...... + P
gleich
β1 . B1 + β2 . B2 + ..... + Q.
Eine specielle Folgerung dieses Satzes ist die, „dass eine Ele-
mentargrösse, deren Ausweichung null ist, einer Ausdehnungsgrösse
gleich ist, und von allen Elementen um gleich viel, nämlich um
eben diese Ausdehnungsgrösse abweicht.“ Denn wenn die Abwei-
chung jener Elementargrösse von irgend einem Elemente ρ, welche
Abweichung immer nach der Definition eine Ausdehnungsgrösse
darstellt, gleich P ist, so muss sie selbst gleich P sein, weil sie
mit P gleiche Ausweichung nämlich null hat, und beide von dem-
selben Elemente ρ um eine gleiche Grösse abweichen, denn die
Abweichung jeder Ausdehnungsgrösse von einem beliebigen Ele-
mente ist eben diese Ausdehnungsgrösse selbst; also erfolgt jene
Gleichheit nach dem so eben erwiesenen Satze, und daraus fliesst
dann der andere Theil des zu erweisenden Satzes unmittelbar.
§ 113. Wir wenden den Satz des vorigen § noch auf die Ad-
dition einer starren Elementargrösse (α . A) und einer Ausdehnung
(P) an. Ist A die Ausweichung der ersteren, so muss es auch, da
die Ausweichung einer Ausdehnungsgrösse null ist, die der Summe
sein; soll daher die Summe wiederum eine starre Elementargrösse
sein, so muss sie sich in der Form β . A darstellen lassen, und es
wird dann β . A in der That der Summe gleich sein, wenn beide
gleiche Abweichungen von irgend einem Elemente z. B. von α dar-
bieten; die Abweichung der Grösse αA von α ist aber null, also
hat man als die einzige Bedingungsgleichung
P = (β—α) . A,
d. h.
„die Summe einer starren Elementargrösse und einer Ausdeh-
nungsgrösse ist nur dann wieder eine starre Elementar-
grösse, wenn die Ausweichung der ersteren der letzteren un-
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