§ 107 Die Strecke als Produkt. -- Elementarsysteme.
für die fragliche Verknüpfung von r mit einer Elementargrösse, so- wohl an sich als auch in Bezug auf das Hinzutreten von Zahlenfak- toren gilt, sobald man nur den zweiten Faktor als gegliedert be- trachtet. Ueberdies zeigt sich, da [rr] null ist, und [ra] gleich -- [ar], dass diese Multiplikation eine äussere sein würde.
§ 107. Ehe wir nun zu dem vollständigen Begriffe des äus- seren Produktes der Elementargrössen übergehen, wollen wir den Begriff der Elementarsysteme feststellen. Dieser Begriff gründet sich wie der der Ausdehnungssysteme (§ 16) auf den Begriff der Abhängigkeit. Wir nennen eine Elementargrösse erster St. ab- hängig von andern Elementargrössen, wenn sie sich als Vielfachen- summe derselben darstellen lässt, hingegen nennen wir mehrere Elementargrössen erster St. unabhängig, wenn zwischen ihnen keine Abhängigkeit in dem angegebenen Sinne statt findet, d. h. keine von ihnen sich als Vielfachensumme der übrigen darstellen lässt. Nun verstehen wir unter einem Elementarsysteme n-ter Stufe die Gesammtheit der Elemente, welche von n Elementen ab- hängig sind, während diese n Elemente von einander unabhängig sind. Sind nun a, b, g .... die n von einander unabhängigen Ele- mente, und ich betrachte zwei von ihnen abhängige Elemente, r und s, so wird auch ihre Differenz sich als Vielfachensumme jener n Elemente darstellen lassen; diese Differenz, welche die ge- genseitige Abweichung beider Elemente darstellt, hat zum Gewichte null, und man erhält daher r -- s in der Form dargestellt: r -- s = aa + bb + cg + ....., wo zugleich a + b + c + .... = 0 ist. Drückt man vermittelst der letzten Gleichung irgend einen der Koefficienten z. B. a durch die übrigen aus, so erhält man, in- dem man diesen Werth in die erste einführt, r -- s = b (b--a) + c (g--a) + ....., d. h. die gegenseitige Abweichung zweier Elemente eines Elemen- tar-Systems n-ter Stufe ist als Vielfachensumme von (n--1) Stre- cken darstellbar, welche von einem der n Elemente, die das System bestimmen, nach den übrigen gelegt sind; und umgekehrt jede Strecke, die sich als Vielfachensumme dieser (n--1) Strecken dar-
§ 107 Die Strecke als Produkt. — Elementarsysteme.
für die fragliche Verknüpfung von ρ mit einer Elementargrösse, so- wohl an sich als auch in Bezug auf das Hinzutreten von Zahlenfak- toren gilt, sobald man nur den zweiten Faktor als gegliedert be- trachtet. Ueberdies zeigt sich, da [ρρ] null ist, und [ρα] gleich — [αρ], dass diese Multiplikation eine äussere sein würde.
§ 107. Ehe wir nun zu dem vollständigen Begriffe des äus- seren Produktes der Elementargrössen übergehen, wollen wir den Begriff der Elementarsysteme feststellen. Dieser Begriff gründet sich wie der der Ausdehnungssysteme (§ 16) auf den Begriff der Abhängigkeit. Wir nennen eine Elementargrösse erster St. ab- hängig von andern Elementargrössen, wenn sie sich als Vielfachen- summe derselben darstellen lässt, hingegen nennen wir mehrere Elementargrössen erster St. unabhängig, wenn zwischen ihnen keine Abhängigkeit in dem angegebenen Sinne statt findet, d. h. keine von ihnen sich als Vielfachensumme der übrigen darstellen lässt. Nun verstehen wir unter einem Elementarsysteme n-ter Stufe die Gesammtheit der Elemente, welche von n Elementen ab- hängig sind, während diese n Elemente von einander unabhängig sind. Sind nun α, β, γ .... die n von einander unabhängigen Ele- mente, und ich betrachte zwei von ihnen abhängige Elemente, ρ und σ, so wird auch ihre Differenz sich als Vielfachensumme jener n Elemente darstellen lassen; diese Differenz, welche die ge- genseitige Abweichung beider Elemente darstellt, hat zum Gewichte null, und man erhält daher ρ — σ in der Form dargestellt: ρ — σ = aα + bβ + cγ + ....., wo zugleich a + b + c + .... = 0 ist. Drückt man vermittelst der letzten Gleichung irgend einen der Koefficienten z. B. a durch die übrigen aus, so erhält man, in- dem man diesen Werth in die erste einführt, ρ — σ = b (β—α) + c (γ—α) + ....., d. h. die gegenseitige Abweichung zweier Elemente eines Elemen- tar-Systems n-ter Stufe ist als Vielfachensumme von (n—1) Stre- cken darstellbar, welche von einem der n Elemente, die das System bestimmen, nach den übrigen gelegt sind; und umgekehrt jede Strecke, die sich als Vielfachensumme dieser (n—1) Strecken dar-
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§ 107 Die Strecke als Produkt. — Elementarsysteme.
für die fragliche Verknüpfung von ρ mit einer Elementargrösse, so-
wohl an sich als auch in Bezug auf das Hinzutreten von Zahlenfak-
toren gilt, sobald man nur den zweiten Faktor als gegliedert be-
trachtet. Ueberdies zeigt sich, da [ρρ] null ist, und [ρα] gleich
— [αρ], dass diese Multiplikation eine äussere sein würde.
§ 107. Ehe wir nun zu dem vollständigen Begriffe des äus-
seren Produktes der Elementargrössen übergehen, wollen wir den
Begriff der Elementarsysteme feststellen. Dieser Begriff gründet
sich wie der der Ausdehnungssysteme (§ 16) auf den Begriff der
Abhängigkeit. Wir nennen eine Elementargrösse erster St. ab-
hängig von andern Elementargrössen, wenn sie sich als Vielfachen-
summe derselben darstellen lässt, hingegen nennen wir mehrere
Elementargrössen erster St. unabhängig, wenn zwischen ihnen
keine Abhängigkeit in dem angegebenen Sinne statt findet, d. h.
keine von ihnen sich als Vielfachensumme der übrigen darstellen
lässt. Nun verstehen wir unter einem Elementarsysteme n-ter
Stufe die Gesammtheit der Elemente, welche von n Elementen ab-
hängig sind, während diese n Elemente von einander unabhängig
sind. Sind nun α, β, γ .... die n von einander unabhängigen Ele-
mente, und ich betrachte zwei von ihnen abhängige Elemente,
ρ und σ, so wird auch ihre Differenz sich als Vielfachensumme
jener n Elemente darstellen lassen; diese Differenz, welche die ge-
genseitige Abweichung beider Elemente darstellt, hat zum Gewichte
null, und man erhält daher ρ — σ in der Form dargestellt:
ρ — σ = aα + bβ + cγ + .....,
wo zugleich
a + b + c + .... = 0
ist. Drückt man vermittelst der letzten Gleichung irgend einen
der Koefficienten z. B. a durch die übrigen aus, so erhält man, in-
dem man diesen Werth in die erste einführt,
ρ — σ = b (β—α) + c (γ—α) + .....,
d. h. die gegenseitige Abweichung zweier Elemente eines Elemen-
tar-Systems n-ter Stufe ist als Vielfachensumme von (n—1) Stre-
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bestimmen, nach den übrigen gelegt sind; und umgekehrt jede
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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 149. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/185>, abgerufen am 03.05.2024.
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