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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Multiplikation der Elementargrössen. § 108
stellen lässt, führt auch von einem Elemente jenes Systems noth-
wendig wieder zu einem Elemente desselben Systems. Wir kön-
nen daher auch sagen, ein Elementarsystem n-ter Stufe sei die
Gesammtheit der Elemente, deren gegenseitige Abweichungen einem
und demselben Ausdehnungssystem (n--1) ter Stufe angehören,
oder, wenn man sich so ausdrücken will, es sei die elementare
Darstellung eines Ausdehnungssystemes (n--1)ter Stufe. Noch be-
merke ich, dass es im Begriffe des Elementarsystems unmittelbar
liegt, dass n Elemente dann und nur dann von einander unabhängig
sind, wenn sie keinem niederen Elementarsystem als dem n-ter
Stufe angehören.

§ 108. Um nun sogleich zu dem Begriff der äusseren Mul-
tiplikation beliebig vieler Elementargrössen erster Stufe zu gelan-
gen; haben wir nur den allgemeinen (formellen) Begriff der äusse-
ren Multiplikation auf diese Grössen anzuwenden. Der Begriff der
Multiplikation ist schon dadurch bestimmt, dass man in einem Produkte
von zwei Faktoren, von denen der eine aus zwei gleichartigen Stücken
besteht, statt dieses Faktors seine Stücke einzeln einführen, und
die so gebildeten Produkte, welche wieder als gleichartig zu be-
trachten sind, addiren darf. Dies Produkt mehrerer Grössen erster
Stufe (die wir als solche einfache Faktoren genannt haben) wird
als ein äusseres dadurch bestimmt, dass ohne Werthänderung des-
selben in jedem einfachen Faktor solche Stücke, welche mit einem
der beiden zunächststehenden Faktoren gleichartig sind, weggelas-
sen werden können. Durch diese Grundgesetze bestimmen wir
also auch den Begriff der Multiplikation von Elementargrössen er-
ster Stufe, und halten zugleich alle in dem ersten Abschnitte für
Ausdehnungsgrössen gegebenen Begriffs-Bestimmungen auch für
Elementargrössen fest, und da auf jenen Grundgesetzen und den
hinzutretenden Begriffs-Bestimmungen alle im ersten Abschnitte be-
wiesenen Gesetze beruhen, so gelten sie auch alle für Elementar-
grössen, also namentlich alle Gesetze der äusseren Multiplikation,
der formellen Addition und Subtraktion, der Division und der Ab-
schattung; in Bezug auf die letzte bemerken wir nur noch, dass der
Name Projektion hier nicht gebraucht werden darf, weil er in Be-
zug auf Elementargrössen, wie sich später zeigen wird, einen gänz-
lich andern Begriff in sich schliesst, als wir bisher mit dem Namen

Multiplikation der Elementargrössen. § 108
stellen lässt, führt auch von einem Elemente jenes Systems noth-
wendig wieder zu einem Elemente desselben Systems. Wir kön-
nen daher auch sagen, ein Elementarsystem n-ter Stufe sei die
Gesammtheit der Elemente, deren gegenseitige Abweichungen einem
und demselben Ausdehnungssystem (n—1) ter Stufe angehören,
oder, wenn man sich so ausdrücken will, es sei die elementare
Darstellung eines Ausdehnungssystemes (n—1)ter Stufe. Noch be-
merke ich, dass es im Begriffe des Elementarsystems unmittelbar
liegt, dass n Elemente dann und nur dann von einander unabhängig
sind, wenn sie keinem niederen Elementarsystem als dem n-ter
Stufe angehören.

§ 108. Um nun sogleich zu dem Begriff der äusseren Mul-
tiplikation beliebig vieler Elementargrössen erster Stufe zu gelan-
gen; haben wir nur den allgemeinen (formellen) Begriff der äusse-
ren Multiplikation auf diese Grössen anzuwenden. Der Begriff der
Multiplikation ist schon dadurch bestimmt, dass man in einem Produkte
von zwei Faktoren, von denen der eine aus zwei gleichartigen Stücken
besteht, statt dieses Faktors seine Stücke einzeln einführen, und
die so gebildeten Produkte, welche wieder als gleichartig zu be-
trachten sind, addiren darf. Dies Produkt mehrerer Grössen erster
Stufe (die wir als solche einfache Faktoren genannt haben) wird
als ein äusseres dadurch bestimmt, dass ohne Werthänderung des-
selben in jedem einfachen Faktor solche Stücke, welche mit einem
der beiden zunächststehenden Faktoren gleichartig sind, weggelas-
sen werden können. Durch diese Grundgesetze bestimmen wir
also auch den Begriff der Multiplikation von Elementargrössen er-
ster Stufe, und halten zugleich alle in dem ersten Abschnitte für
Ausdehnungsgrössen gegebenen Begriffs-Bestimmungen auch für
Elementargrössen fest, und da auf jenen Grundgesetzen und den
hinzutretenden Begriffs-Bestimmungen alle im ersten Abschnitte be-
wiesenen Gesetze beruhen, so gelten sie auch alle für Elementar-
grössen, also namentlich alle Gesetze der äusseren Multiplikation,
der formellen Addition und Subtraktion, der Division und der Ab-
schattung; in Bezug auf die letzte bemerken wir nur noch, dass der
Name Projektion hier nicht gebraucht werden darf, weil er in Be-
zug auf Elementargrössen, wie sich später zeigen wird, einen gänz-
lich andern Begriff in sich schliesst, als wir bisher mit dem Namen

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[150/0186] Multiplikation der Elementargrössen. § 108 stellen lässt, führt auch von einem Elemente jenes Systems noth- wendig wieder zu einem Elemente desselben Systems. Wir kön- nen daher auch sagen, ein Elementarsystem n-ter Stufe sei die Gesammtheit der Elemente, deren gegenseitige Abweichungen einem und demselben Ausdehnungssystem (n—1) ter Stufe angehören, oder, wenn man sich so ausdrücken will, es sei die elementare Darstellung eines Ausdehnungssystemes (n—1)ter Stufe. Noch be- merke ich, dass es im Begriffe des Elementarsystems unmittelbar liegt, dass n Elemente dann und nur dann von einander unabhängig sind, wenn sie keinem niederen Elementarsystem als dem n-ter Stufe angehören. § 108. Um nun sogleich zu dem Begriff der äusseren Mul- tiplikation beliebig vieler Elementargrössen erster Stufe zu gelan- gen; haben wir nur den allgemeinen (formellen) Begriff der äusse- ren Multiplikation auf diese Grössen anzuwenden. Der Begriff der Multiplikation ist schon dadurch bestimmt, dass man in einem Produkte von zwei Faktoren, von denen der eine aus zwei gleichartigen Stücken besteht, statt dieses Faktors seine Stücke einzeln einführen, und die so gebildeten Produkte, welche wieder als gleichartig zu be- trachten sind, addiren darf. Dies Produkt mehrerer Grössen erster Stufe (die wir als solche einfache Faktoren genannt haben) wird als ein äusseres dadurch bestimmt, dass ohne Werthänderung des- selben in jedem einfachen Faktor solche Stücke, welche mit einem der beiden zunächststehenden Faktoren gleichartig sind, weggelas- sen werden können. Durch diese Grundgesetze bestimmen wir also auch den Begriff der Multiplikation von Elementargrössen er- ster Stufe, und halten zugleich alle in dem ersten Abschnitte für Ausdehnungsgrössen gegebenen Begriffs-Bestimmungen auch für Elementargrössen fest, und da auf jenen Grundgesetzen und den hinzutretenden Begriffs-Bestimmungen alle im ersten Abschnitte be- wiesenen Gesetze beruhen, so gelten sie auch alle für Elementar- grössen, also namentlich alle Gesetze der äusseren Multiplikation, der formellen Addition und Subtraktion, der Division und der Ab- schattung; in Bezug auf die letzte bemerken wir nur noch, dass der Name Projektion hier nicht gebraucht werden darf, weil er in Be- zug auf Elementargrössen, wie sich später zeigen wird, einen gänz- lich andern Begriff in sich schliesst, als wir bisher mit dem Namen

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 150. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/186>, abgerufen am 16.02.2025.