Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

Multiplikation der Elementargrössen. § 106

Wir verstanden dort unter der Abweichung eines Elementes α von
einem andern Elemente ρ die Strecke, welche von ρ nach α ge-
führt werden kann, und bezeichneten dieselbe mit [ρα]; ebenso
verstanden wir unter der Abweichung eines Elementarvereines von
einem Elemente ρ die Vielfachensumme aus den Abweichungen
seiner Elemente von demselben Elemente ρ, wenn man als Koeffi-
cienten dieser Vielfachensumme die den betreffenden Elementen
zugehörigen Zahlengrössen (Gewichte) nimmt. Wir bestimmten dar-
auf die einem Elementarverein entsprechende Elementargrösse so,
dass sie statt desselben gesetzt werden konnte, sobald es sich nur
um die Abweichung handelte, und setzten eben die Gleichheit der
Abweichungen als einzige Bedingung für die Gleichheit der Elemen-
targrössen; daraus ergab sich dann, dass die einem Elementarver-
eine zugehörige Elementargrösse wiederum die mit den zugehörigen
Gewichten als Koefficienten versehene Vielfachensumme der Ele-
mente sei, also die entsprechende Vielfachensumme der Elemente,
wie die Gesammt-Abweichung jenes Vereins eine Vielfachensumme
aus den Abweichungen der Elemente war. Bezeichnen wir daher
gleichfalls die Abweichung einer Elementargrösse a von einem Ele-
mente ρ mit [ρa], so haben wir
[ρ (aα + bβ + ...)] = a [ρα] + b [ρβ] + ...;
und so auch, da die Gesammtabweichung eines Elementarvereins
die Summe ist aus den Abweichungen ihrer Theile,
[ρ (a + b + c + ...)] = [ρa] + [ρb] + ...,
wenn a, b, ... beliebige Elementargrössen vorstellen. Späterhin
hatten wir das Produkt einer Zahlengrösse in eine Elementargrösse,
d. h. in eine Vielfachensumme von Elementen als eine Vielfachen-
summe definirt, welche aus der ersteren durch Multiplikation ihrer
Koefficienten mit jener Zahlengrösse hervorgeht, und daraus folgt
nun, dass man die Abweichung einer m-fachen Elementargrösse
findet, wenn man die der einfachen mit m multiplicirt, also dass
[ρ (ma)] = m [ρa]
ist^*). Kurz es zeigt sich, dass die multiplikative Grundbeziehung

*) Hieraus ergiebt sich übrigens, dass man in der ersten Gleichung dieses
Paragraphen auch statt der Elemente α, β, ... die Elementargrössen a, b, ... ein-
führen könnte.