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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 99 Einfachste Darstellung dieser Grösse.
chung einer Strecke von einem Element jene Strecke selbst, und
die Strecke erscheint als eine besondere Art von Elementargrössen.
Um dies noch anschaulicher zu übersehen, können wir zunächst
nachweisen, dass sich jede Elementargrösse, deren Gewicht null
ist, als Differenz zweier Elemente (b--a) darstellen lässt, deren
eins (a) willkührlich ist. In der That da das Gesammtgewicht
dieser Differenz gleichfalls null ist, so kommt es nur darauf an,
dass in Bezug auf irgend ein Element (r) die Abweichungen gleich
sind. -- Die Abweichung jener Differenz von r ist [rb] -- [ra],
d. h. sie ist gleich [ab], und dadurch ist nicht blos das Element
b bestimmt, wenn a gegeben ist, sondern auch die konstante Ab-
weichung der gegebenen Elementargrösse selbst gefunden, und es
folgt daraus ferner, dass
[ab] = b-a
ist. Beide stellen also nur verschiedene Bezeichnungen dar, und
da die erstere willkührlich, die letztere nothwendig ist, so werden
wir von jetzt an am liebsten jene von Anfang an nur als vorläufig
dargestellte Bezeichnung gegen die letzte fallen lassen, und also
künftig eine Strecke, welche, wenn a als ihr Anfangselement ge-
setzt wird, b zum Endelement hat, mit b--a bezeichnen*). Fas-
sen wir das Ergebniss beider Paragraphen zusammen, so zeigt sich,
"dass eine Elementargrösse erster Stufe, denn so bezeichnen
wir die bisher behandelte Elementargrösse im Gegensatz ge-
gen die später zu behandelnden, sich, wenn ihr Gewicht einen
geltenden Werth hat, als vielfaches Element, wenn ihr Ge-
wicht null ist, als Strecke darstellen lässt, und zwar erhält
man jedesmal diesen Werth, indem man die Gewichte gleich
setzt, und die Abweichungen von irgend einem Elemente, wo-
bei die Abweichung einer Strecke von einem Elemente jener
Strecke selbst gleich gesetzt, und das Gewicht einer Strecke
null gesetzt wird."

*) Es ist hier noch zu erwähnen, dass die Formel des vorigen § für diesen
Fall die Elementargrösse als unendlich entferntes Element mit dem Gewichte
null darstellt, falls man nämlich die Division mit null gelten lassen will; aber die
bestimmte Bedeutung dieses Ausdrucks tritt eben erst durch die hier gegebene
Darstellung an's Licht.

§ 99 Einfachste Darstellung dieser Grösse.
chung einer Strecke von einem Element jene Strecke selbst, und
die Strecke erscheint als eine besondere Art von Elementargrössen.
Um dies noch anschaulicher zu übersehen, können wir zunächst
nachweisen, dass sich jede Elementargrösse, deren Gewicht null
ist, als Differenz zweier Elemente (β—α) darstellen lässt, deren
eins (α) willkührlich ist. In der That da das Gesammtgewicht
dieser Differenz gleichfalls null ist, so kommt es nur darauf an,
dass in Bezug auf irgend ein Element (ρ) die Abweichungen gleich
sind. — Die Abweichung jener Differenz von ρ ist [ρβ] — [ρα],
d. h. sie ist gleich [αβ], und dadurch ist nicht blos das Element
β bestimmt, wenn α gegeben ist, sondern auch die konstante Ab-
weichung der gegebenen Elementargrösse selbst gefunden, und es
folgt daraus ferner, dass
[αβ] = β-α
ist. Beide stellen also nur verschiedene Bezeichnungen dar, und
da die erstere willkührlich, die letztere nothwendig ist, so werden
wir von jetzt an am liebsten jene von Anfang an nur als vorläufig
dargestellte Bezeichnung gegen die letzte fallen lassen, und also
künftig eine Strecke, welche, wenn α als ihr Anfangselement ge-
setzt wird, β zum Endelement hat, mit β—α bezeichnen*). Fas-
sen wir das Ergebniss beider Paragraphen zusammen, so zeigt sich,
„dass eine Elementargrösse erster Stufe, denn so bezeichnen
wir die bisher behandelte Elementargrösse im Gegensatz ge-
gen die später zu behandelnden, sich, wenn ihr Gewicht einen
geltenden Werth hat, als vielfaches Element, wenn ihr Ge-
wicht null ist, als Strecke darstellen lässt, und zwar erhält
man jedesmal diesen Werth, indem man die Gewichte gleich
setzt, und die Abweichungen von irgend einem Elemente, wo-
bei die Abweichung einer Strecke von einem Elemente jener
Strecke selbst gleich gesetzt, und das Gewicht einer Strecke
null gesetzt wird.“

*) Es ist hier noch zu erwähnen, dass die Formel des vorigen § für diesen
Fall die Elementargrösse als unendlich entferntes Element mit dem Gewichte
null darstellt, falls man nämlich die Division mit null gelten lassen will; aber die
bestimmte Bedeutung dieses Ausdrucks tritt eben erst durch die hier gegebene
Darstellung an’s Licht.
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[139/0175] § 99 Einfachste Darstellung dieser Grösse. chung einer Strecke von einem Element jene Strecke selbst, und die Strecke erscheint als eine besondere Art von Elementargrössen. Um dies noch anschaulicher zu übersehen, können wir zunächst nachweisen, dass sich jede Elementargrösse, deren Gewicht null ist, als Differenz zweier Elemente (β—α) darstellen lässt, deren eins (α) willkührlich ist. In der That da das Gesammtgewicht dieser Differenz gleichfalls null ist, so kommt es nur darauf an, dass in Bezug auf irgend ein Element (ρ) die Abweichungen gleich sind. — Die Abweichung jener Differenz von ρ ist [ρβ] — [ρα], d. h. sie ist gleich [αβ], und dadurch ist nicht blos das Element β bestimmt, wenn α gegeben ist, sondern auch die konstante Ab- weichung der gegebenen Elementargrösse selbst gefunden, und es folgt daraus ferner, dass [αβ] = β-α ist. Beide stellen also nur verschiedene Bezeichnungen dar, und da die erstere willkührlich, die letztere nothwendig ist, so werden wir von jetzt an am liebsten jene von Anfang an nur als vorläufig dargestellte Bezeichnung gegen die letzte fallen lassen, und also künftig eine Strecke, welche, wenn α als ihr Anfangselement ge- setzt wird, β zum Endelement hat, mit β—α bezeichnen *). Fas- sen wir das Ergebniss beider Paragraphen zusammen, so zeigt sich, „dass eine Elementargrösse erster Stufe, denn so bezeichnen wir die bisher behandelte Elementargrösse im Gegensatz ge- gen die später zu behandelnden, sich, wenn ihr Gewicht einen geltenden Werth hat, als vielfaches Element, wenn ihr Ge- wicht null ist, als Strecke darstellen lässt, und zwar erhält man jedesmal diesen Werth, indem man die Gewichte gleich setzt, und die Abweichungen von irgend einem Elemente, wo- bei die Abweichung einer Strecke von einem Elemente jener Strecke selbst gleich gesetzt, und das Gewicht einer Strecke null gesetzt wird.“ *) Es ist hier noch zu erwähnen, dass die Formel des vorigen § für diesen Fall die Elementargrösse als unendlich entferntes Element mit dem Gewichte null darstellt, falls man nämlich die Division mit null gelten lassen will; aber die bestimmte Bedeutung dieses Ausdrucks tritt eben erst durch die hier gegebene Darstellung an’s Licht.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 139. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/175>, abgerufen am 03.05.2024.