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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Add. u. Subtr. der Elementargrössen erster St. § 99
stellen, und zwar ist die Abweichung dieses Elementes von
einem Elemente r gleich der durch das Gewicht dividirten
Abweichung der Elementargrösse von demselben Elemente."
Setzt man übrigens in jener Gleichung, welche für jedes Element
r gilt, dies Element mit s identisch, so hat man, weil [ss] null
ist, mit Weglassung des Divisors die Gleichung
0 = a [sa] + b [sb] + ....,
d. h. die Gesammtabweichung einer Vielfachensumme von Elemen-
ten von dem Summenelement (s) ist gleich null.

§ 99. Ist das Gewicht der Elementargrösse null, so haben
wir schon gezeigt, dass dann die Abweichungen der Elementar-
grösse von je zwei Elementen gleich gross sind; ist diese Abwei-
chung daher in Bezug auf irgend ein Element null, so ist sie es
auch in Bezug auf jedes andere, und jene Elementargrösse kann
dann einem beliebigen Elemente mit dem Gewichte null gleichge-
setzt werden, wie dies auch die Formel des vorigen § schon dar-
legt, oder sie kann selbst gleich null gesetzt werden. Ist aber die
Abweichung einer solchen Elementargrösse (deren Gewicht null
ist) von irgend einem Elemente gleich einer Strecke von geltender
Grösse, so ist auch die Abweichung derselben von jedem andern
Elemente derselben Strecke gleich, und diese Strecke, welche jene
konstante Abweichung misst, repräsentirt daher jene Elementar-
grösse vollständig, so dass zu gleichen Elementargrössen, deren
Gewichte null sind, auch gleiche Abweichungswerthe und umge-
kehrt gehören. Werden nun solche Elementargrössen zu einander
addirt oder mit Zahlengrössen multiplicirt, so geht der Abwei-
chungswerth des Resultates aus denen jener Elementargrössen durch
dieselbe Addition oder Multiplikation hervor, es tritt also zwischen
solchen Elementargrössen und ihren Abweichungswerthen weder
an sich, d. h. in ihrem Begriffsumfange, noch in ihren Verknüpfun-
gen, irgend ein Unterschied hervor, und wir sind somit berechtigt,
jene Elementargrösse und ihren Abweichungswerth als gleich zu
definiren, ja wir sind dazu gezwungen, wenn wir nicht durch un-
nütze Unterscheidungen den Gegenstand verwirren wollen. Wir
setzen daher eine Elementargrösse, deren Gewicht null ist, derje-
nigen konstanten Strecke gleich, um welche jene Grösse von be-
liebigen Elementen abweicht, oder wir verstehen unter der Abwei-

Add. u. Subtr. der Elementargrössen erster St. § 99
stellen, und zwar ist die Abweichung dieses Elementes von
einem Elemente ρ gleich der durch das Gewicht dividirten
Abweichung der Elementargrösse von demselben Elemente.“
Setzt man übrigens in jener Gleichung, welche für jedes Element
ρ gilt, dies Element mit σ identisch, so hat man, weil [σσ] null
ist, mit Weglassung des Divisors die Gleichung
0 = a [σα] + b [σβ] + ....,
d. h. die Gesammtabweichung einer Vielfachensumme von Elemen-
ten von dem Summenelement (σ) ist gleich null.

§ 99. Ist das Gewicht der Elementargrösse null, so haben
wir schon gezeigt, dass dann die Abweichungen der Elementar-
grösse von je zwei Elementen gleich gross sind; ist diese Abwei-
chung daher in Bezug auf irgend ein Element null, so ist sie es
auch in Bezug auf jedes andere, und jene Elementargrösse kann
dann einem beliebigen Elemente mit dem Gewichte null gleichge-
setzt werden, wie dies auch die Formel des vorigen § schon dar-
legt, oder sie kann selbst gleich null gesetzt werden. Ist aber die
Abweichung einer solchen Elementargrösse (deren Gewicht null
ist) von irgend einem Elemente gleich einer Strecke von geltender
Grösse, so ist auch die Abweichung derselben von jedem andern
Elemente derselben Strecke gleich, und diese Strecke, welche jene
konstante Abweichung misst, repräsentirt daher jene Elementar-
grösse vollständig, so dass zu gleichen Elementargrössen, deren
Gewichte null sind, auch gleiche Abweichungswerthe und umge-
kehrt gehören. Werden nun solche Elementargrössen zu einander
addirt oder mit Zahlengrössen multiplicirt, so geht der Abwei-
chungswerth des Resultates aus denen jener Elementargrössen durch
dieselbe Addition oder Multiplikation hervor, es tritt also zwischen
solchen Elementargrössen und ihren Abweichungswerthen weder
an sich, d. h. in ihrem Begriffsumfange, noch in ihren Verknüpfun-
gen, irgend ein Unterschied hervor, und wir sind somit berechtigt,
jene Elementargrösse und ihren Abweichungswerth als gleich zu
definiren, ja wir sind dazu gezwungen, wenn wir nicht durch un-
nütze Unterscheidungen den Gegenstand verwirren wollen. Wir
setzen daher eine Elementargrösse, deren Gewicht null ist, derje-
nigen konstanten Strecke gleich, um welche jene Grösse von be-
liebigen Elementen abweicht, oder wir verstehen unter der Abwei-

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[138/0174] Add. u. Subtr. der Elementargrössen erster St. § 99 stellen, und zwar ist die Abweichung dieses Elementes von einem Elemente ρ gleich der durch das Gewicht dividirten Abweichung der Elementargrösse von demselben Elemente.“ Setzt man übrigens in jener Gleichung, welche für jedes Element ρ gilt, dies Element mit σ identisch, so hat man, weil [σσ] null ist, mit Weglassung des Divisors die Gleichung 0 = a [σα] + b [σβ] + ...., d. h. die Gesammtabweichung einer Vielfachensumme von Elemen- ten von dem Summenelement (σ) ist gleich null. § 99. Ist das Gewicht der Elementargrösse null, so haben wir schon gezeigt, dass dann die Abweichungen der Elementar- grösse von je zwei Elementen gleich gross sind; ist diese Abwei- chung daher in Bezug auf irgend ein Element null, so ist sie es auch in Bezug auf jedes andere, und jene Elementargrösse kann dann einem beliebigen Elemente mit dem Gewichte null gleichge- setzt werden, wie dies auch die Formel des vorigen § schon dar- legt, oder sie kann selbst gleich null gesetzt werden. Ist aber die Abweichung einer solchen Elementargrösse (deren Gewicht null ist) von irgend einem Elemente gleich einer Strecke von geltender Grösse, so ist auch die Abweichung derselben von jedem andern Elemente derselben Strecke gleich, und diese Strecke, welche jene konstante Abweichung misst, repräsentirt daher jene Elementar- grösse vollständig, so dass zu gleichen Elementargrössen, deren Gewichte null sind, auch gleiche Abweichungswerthe und umge- kehrt gehören. Werden nun solche Elementargrössen zu einander addirt oder mit Zahlengrössen multiplicirt, so geht der Abwei- chungswerth des Resultates aus denen jener Elementargrössen durch dieselbe Addition oder Multiplikation hervor, es tritt also zwischen solchen Elementargrössen und ihren Abweichungswerthen weder an sich, d. h. in ihrem Begriffsumfange, noch in ihren Verknüpfun- gen, irgend ein Unterschied hervor, und wir sind somit berechtigt, jene Elementargrösse und ihren Abweichungswerth als gleich zu definiren, ja wir sind dazu gezwungen, wenn wir nicht durch un- nütze Unterscheidungen den Gegenstand verwirren wollen. Wir setzen daher eine Elementargrösse, deren Gewicht null ist, derje- nigen konstanten Strecke gleich, um welche jene Grösse von be- liebigen Elementen abweicht, oder wir verstehen unter der Abwei-

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 138. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/174>, abgerufen am 04.05.2024.