Add. u. Subtr. der Elementargrössen erster St. § 100--101
§ 100. Da nach dem vorigen § die Strecke als eine beson- dere Gattung von Elementargrössen erster Stufe erschien, so lässt sich die Summe einer Strecke und eines einfachen oder vielfachen Elementes gleichfalls als Elementargrösse auffassen, und den Be- griff dieser Summe, der durch das Frühere schon bestimmt ist, wollen wir nun näher vor Augen rücken. Suchen wir zuerst die Summe (a + p) eines Elementes a und einer Strecke p, so muss, da das Gewicht dieser Summe 1 ist, dieselbe wieder gleich einem einfachen Elemente b gesetzt werden. Man hat dann aus der Gleichung a + p = b die neue Gleichung b -- a = p, d. h. a + p bedeutet das Element b, in welches a übergeht, wenn es sich um p ändert, oder dessen Abweichung von a gleich p ist. Betrachten wir die Summe eines vielfachen Elementes ma und ei- ner Strecke p, so haben wir, da das Gewicht der Summe m ist, die Gleichung ma + p = mb und daraus m(b--a) = p, oder b--a=, d. h. ma + p bedeutet das mfache eines Elementes b, dessen Ab- weichung von a der mte Theil der Strecke p ist. Oder fassen wir beides zusammen und drücken es auf allgemeinere Weise aus, in- dem wir zugleich bedenken, dass, wenn b von a um abweicht, dann mb von a um p abweiche, so ergiebt sich, "dass die Summe einer Elementargrösse von geltendem Ge- wichtswerthe und einer Strecke eine Elementargrösse ist, wel- che mit der ersteren gleiches Gewicht hat, und von dem Ele- mente der ersteren um die hinzuaddirte Strecke abweicht."
§ 101. Wollen wir die in diesem Kapitel gewonnenen Resul- tate auf die Geometrie anwenden, so haben wir nur statt der Ele- mente uns Punkte vorzustellen; und behalten wir dann die übrigen Benennungen, welche in diesem Kapitel eingeführt wurden, nament- lich die Benennungen "Gewicht, Abweichung, Elementargrösse"
Add. u. Subtr. der Elementargrössen erster St. § 100—101
§ 100. Da nach dem vorigen § die Strecke als eine beson- dere Gattung von Elementargrössen erster Stufe erschien, so lässt sich die Summe einer Strecke und eines einfachen oder vielfachen Elementes gleichfalls als Elementargrösse auffassen, und den Be- griff dieser Summe, der durch das Frühere schon bestimmt ist, wollen wir nun näher vor Augen rücken. Suchen wir zuerst die Summe (α + p) eines Elementes α und einer Strecke p, so muss, da das Gewicht dieser Summe 1 ist, dieselbe wieder gleich einem einfachen Elemente β gesetzt werden. Man hat dann aus der Gleichung α + p = β die neue Gleichung β — α = p, d. h. α + p bedeutet das Element β, in welches α übergeht, wenn es sich um p ändert, oder dessen Abweichung von α gleich p ist. Betrachten wir die Summe eines vielfachen Elementes mα und ei- ner Strecke p, so haben wir, da das Gewicht der Summe m ist, die Gleichung mα + p = mβ und daraus m(β—α) = p, oder β—α=, d. h. mα + p bedeutet das mfache eines Elementes β, dessen Ab- weichung von α der mte Theil der Strecke p ist. Oder fassen wir beides zusammen und drücken es auf allgemeinere Weise aus, in- dem wir zugleich bedenken, dass, wenn β von α um abweicht, dann mβ von α um p abweiche, so ergiebt sich, „dass die Summe einer Elementargrösse von geltendem Ge- wichtswerthe und einer Strecke eine Elementargrösse ist, wel- che mit der ersteren gleiches Gewicht hat, und von dem Ele- mente der ersteren um die hinzuaddirte Strecke abweicht.“
§ 101. Wollen wir die in diesem Kapitel gewonnenen Resul- tate auf die Geometrie anwenden, so haben wir nur statt der Ele- mente uns Punkte vorzustellen; und behalten wir dann die übrigen Benennungen, welche in diesem Kapitel eingeführt wurden, nament- lich die Benennungen „Gewicht, Abweichung, Elementargrösse“
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Add. u. Subtr. der Elementargrössen erster St. § 100—101
§ 100. Da nach dem vorigen § die Strecke als eine beson-
dere Gattung von Elementargrössen erster Stufe erschien, so lässt
sich die Summe einer Strecke und eines einfachen oder vielfachen
Elementes gleichfalls als Elementargrösse auffassen, und den Be-
griff dieser Summe, der durch das Frühere schon bestimmt ist,
wollen wir nun näher vor Augen rücken. Suchen wir zuerst die
Summe (α + p) eines Elementes α und einer Strecke p, so muss,
da das Gewicht dieser Summe 1 ist, dieselbe wieder gleich einem
einfachen Elemente β gesetzt werden. Man hat dann aus der
Gleichung
α + p = β
die neue Gleichung
β — α = p,
d. h. α + p bedeutet das Element β, in welches α übergeht, wenn
es sich um p ändert, oder dessen Abweichung von α gleich p ist.
Betrachten wir die Summe eines vielfachen Elementes mα und ei-
ner Strecke p, so haben wir, da das Gewicht der Summe m ist,
die Gleichung
mα + p = mβ
und daraus
m(β—α) = p, oder β—α=[FORMEL],
d. h. mα + p bedeutet das mfache eines Elementes β, dessen Ab-
weichung von α der mte Theil der Strecke p ist. Oder fassen wir
beides zusammen und drücken es auf allgemeinere Weise aus, in-
dem wir zugleich bedenken, dass, wenn β von α um [FORMEL] abweicht,
dann mβ von α um p abweiche, so ergiebt sich,
„dass die Summe einer Elementargrösse von geltendem Ge-
wichtswerthe und einer Strecke eine Elementargrösse ist, wel-
che mit der ersteren gleiches Gewicht hat, und von dem Ele-
mente der ersteren um die hinzuaddirte Strecke abweicht.“
§ 101. Wollen wir die in diesem Kapitel gewonnenen Resul-
tate auf die Geometrie anwenden, so haben wir nur statt der Ele-
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lich die Benennungen „Gewicht, Abweichung, Elementargrösse“
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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 140. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/176>, abgerufen am 04.05.2024.
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