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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 98 Mult. dieser Grössen mit Zahlengrössen.
sobald diese nicht null ist, ein bestimmtes sei, ergiebt sich leicht,
indem verschiedene Elementargrössen, d. h. solche, deren Abwei-
chungen von denselben Elementen Verschiedenheiten darbieten,
auch nachdem sie mit derselben Zahlengrösse, die nicht null ist,
multiplicirt sind, verschiedene Abweichungen darbieten müssen, also
verschieden bleiben. Und ebenso leicht ergiebt sich auch, dass,
wenn wir gleichartige Elementargrössen solche nennen, welche aus
derselben Elementargrösse durch Multiplikation mit Zahlengrössen
hervorgegangen sind, der Quotient zweier gleichartiger Elementar-
grössen, wenn nicht der Divisor null ist, eine bestimmte Zahlen-
grösse liefert. Somit gelten alle Gesetze arithmetischer Multipli-
kation und Division für die fragliche Verknüpfung. Die Verknü-
pfung des Elementes r mit andern Elementen oder Elementargrös-
sen, wie sie bei der oben eingeführten Bezeichnung der Abwei-
chung eintritt, behalten wir dem folgenden Kapitel vor.

§ 98. Es erschien bisher die Elementargrösse im Allgemei-
nen als eine Vielfachensumme von Elementen, und wir müssen
uns die Aufgabe stellen, eine Elementargrösse, welche in dieser
Form gegeben ist, in möglichst einfacher Form darzustellen. Zu-
nächst machen wir den Versuch, sie in Einem Gliede, also als viel-
faches Element darzustellen. Es sei daher
aa + bb + ..... = xs
gesetzt, wo s ein Element, x sein Gewicht bezeichnet; da das Ge-
sammtgewicht auf beiden Seiten gleich sein muss, so erhalten wir
sogleich
x = a + b + .....
und wir haben nur noch s so zu bestimmen, dass die Gesammt-
Abweichung von irgend einem Elemente r auf beiden Seiten gleich
ist und erhalten
a [ra] + b [rb] + ..... = (a + b + ....) [rs],
d. h.
[Formel 1] wodurch s bestimmt ist, sobald a + b + .... einen geltenden Werth
hat, d. h.
"Eine Elementargrösse, deren Gewicht nicht null ist, lässt
sich als ein mit gleichem Gewichte behaftetes Element dar-

§ 98 Mult. dieser Grössen mit Zahlengrössen.
sobald diese nicht null ist, ein bestimmtes sei, ergiebt sich leicht,
indem verschiedene Elementargrössen, d. h. solche, deren Abwei-
chungen von denselben Elementen Verschiedenheiten darbieten,
auch nachdem sie mit derselben Zahlengrösse, die nicht null ist,
multiplicirt sind, verschiedene Abweichungen darbieten müssen, also
verschieden bleiben. Und ebenso leicht ergiebt sich auch, dass,
wenn wir gleichartige Elementargrössen solche nennen, welche aus
derselben Elementargrösse durch Multiplikation mit Zahlengrössen
hervorgegangen sind, der Quotient zweier gleichartiger Elementar-
grössen, wenn nicht der Divisor null ist, eine bestimmte Zahlen-
grösse liefert. Somit gelten alle Gesetze arithmetischer Multipli-
kation und Division für die fragliche Verknüpfung. Die Verknü-
pfung des Elementes ρ mit andern Elementen oder Elementargrös-
sen, wie sie bei der oben eingeführten Bezeichnung der Abwei-
chung eintritt, behalten wir dem folgenden Kapitel vor.

§ 98. Es erschien bisher die Elementargrösse im Allgemei-
nen als eine Vielfachensumme von Elementen, und wir müssen
uns die Aufgabe stellen, eine Elementargrösse, welche in dieser
Form gegeben ist, in möglichst einfacher Form darzustellen. Zu-
nächst machen wir den Versuch, sie in Einem Gliede, also als viel-
faches Element darzustellen. Es sei daher
aα + bβ + ..... = xσ
gesetzt, wo σ ein Element, x sein Gewicht bezeichnet; da das Ge-
sammtgewicht auf beiden Seiten gleich sein muss, so erhalten wir
sogleich
x = a + b + .....
und wir haben nur noch σ so zu bestimmen, dass die Gesammt-
Abweichung von irgend einem Elemente ρ auf beiden Seiten gleich
ist und erhalten
a [ρα] + b [ρβ] + ..... = (a + b + ....) [ρσ],
d. h.
[Formel 1] wodurch σ bestimmt ist, sobald a + b + .... einen geltenden Werth
hat, d. h.
„Eine Elementargrösse, deren Gewicht nicht null ist, lässt
sich als ein mit gleichem Gewichte behaftetes Element dar-

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[137/0173] § 98 Mult. dieser Grössen mit Zahlengrössen. sobald diese nicht null ist, ein bestimmtes sei, ergiebt sich leicht, indem verschiedene Elementargrössen, d. h. solche, deren Abwei- chungen von denselben Elementen Verschiedenheiten darbieten, auch nachdem sie mit derselben Zahlengrösse, die nicht null ist, multiplicirt sind, verschiedene Abweichungen darbieten müssen, also verschieden bleiben. Und ebenso leicht ergiebt sich auch, dass, wenn wir gleichartige Elementargrössen solche nennen, welche aus derselben Elementargrösse durch Multiplikation mit Zahlengrössen hervorgegangen sind, der Quotient zweier gleichartiger Elementar- grössen, wenn nicht der Divisor null ist, eine bestimmte Zahlen- grösse liefert. Somit gelten alle Gesetze arithmetischer Multipli- kation und Division für die fragliche Verknüpfung. Die Verknü- pfung des Elementes ρ mit andern Elementen oder Elementargrös- sen, wie sie bei der oben eingeführten Bezeichnung der Abwei- chung eintritt, behalten wir dem folgenden Kapitel vor. § 98. Es erschien bisher die Elementargrösse im Allgemei- nen als eine Vielfachensumme von Elementen, und wir müssen uns die Aufgabe stellen, eine Elementargrösse, welche in dieser Form gegeben ist, in möglichst einfacher Form darzustellen. Zu- nächst machen wir den Versuch, sie in Einem Gliede, also als viel- faches Element darzustellen. Es sei daher aα + bβ + ..... = xσ gesetzt, wo σ ein Element, x sein Gewicht bezeichnet; da das Ge- sammtgewicht auf beiden Seiten gleich sein muss, so erhalten wir sogleich x = a + b + ..... und wir haben nur noch σ so zu bestimmen, dass die Gesammt- Abweichung von irgend einem Elemente ρ auf beiden Seiten gleich ist und erhalten a [ρα] + b [ρβ] + ..... = (a + b + ....) [ρσ], d. h. [FORMEL] wodurch σ bestimmt ist, sobald a + b + .... einen geltenden Werth hat, d. h. „Eine Elementargrösse, deren Gewicht nicht null ist, lässt sich als ein mit gleichem Gewichte behaftetes Element dar-

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 137. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/173>, abgerufen am 03.05.2024.