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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Add. u. Subtr. der Elementargrössen erster St. § 97
selbe Element mehrmals und zwar mit verschiedenen Gewichten
behaftet vorkommt, man statt dessen das Element einmal und zwar
mit der Summe der Gewichte behaftet setzen kann, ohne dass die
Abweichung des Vereins geändert wird, wie dies aus den Gesetzen
der Multiplikation von Zahlengrössen mit Strecken bekannt ist.
Bezeichnet man daher vorläufig diese zweite Verknüpfungsweise
durch das Zeichen -, so hat man, wenn a ein Element, m und n
die Gewichte sind,
m-a + n-a = (m + n) - a,
eine Gleichung, welche das multiplikative Grundgesetz in Bezug auf
das erste Verknüpfungsglied darstellt, und da die Verknüpfung ei-
ner Zahlengrösse mit einem Verein aus mehreren Elementen noch
nicht ihrem Begriffe nach gegeben ist, also auch die andere Seite
jenes Grundgesetzes noch nicht hervortreten kann, so ist jene Ver-
knüpfung, so weit sie überhaupt bestimmt ist, als eine multiplika-
tive bestimmt. Fassen wir dies zusammen, so ist die Elementar-
grösse eines Vereins von Elementen a, b, .... mit den zugehöri-
gen Gewichten a, b, .... gleich
aa + bb + .......,
d. h. sie ist als Vielfachensumme der Elemente dargestellt, deren
Koefficienten die den Elementen zugehörigen Gewichte sind, und
zugleich ist dadurch die Addition der Elementargrössen unter sich
bestimmt.

§ 97. Um nun die multiplikative Verknüpfung allgemeiner
darzustellen, haben wir die Multiplikation einer Zahlengrösse mit
einer Elementargrösse so zu definiren, dass auch die andere Seite
des multiplikativen Grundgesetzes fortbesteht; dies geschieht, indem
wir festsetzen, dass eine Vielfachensumme von Elementen mit ei-
ner Zahlengrösse multiplicirt werde, wenn man die Koefficienten
derselben mit dieser Zahlengrösse multiplicirt. Nämlich dann er-
giebt sich sogleich, wenn a und b beliebige Elementargrössen, d.
h. Vielfachensummen von Elementen darstellen, die Geltung der
beiden multiplikativen Grundgesetze
ma + na = (m + n) a
und
ma + mb = m(a + b).
Dass nun auch das Resultat der Division mit einer Zahlengrösse,

Add. u. Subtr. der Elementargrössen erster St. § 97
selbe Element mehrmals und zwar mit verschiedenen Gewichten
behaftet vorkommt, man statt dessen das Element einmal und zwar
mit der Summe der Gewichte behaftet setzen kann, ohne dass die
Abweichung des Vereins geändert wird, wie dies aus den Gesetzen
der Multiplikation von Zahlengrössen mit Strecken bekannt ist.
Bezeichnet man daher vorläufig diese zweite Verknüpfungsweise
durch das Zeichen ⁀, so hat man, wenn α ein Element, m und n
die Gewichte sind,
m⁀α + n⁀α = (m + n) ⁀ α,
eine Gleichung, welche das multiplikative Grundgesetz in Bezug auf
das erste Verknüpfungsglied darstellt, und da die Verknüpfung ei-
ner Zahlengrösse mit einem Verein aus mehreren Elementen noch
nicht ihrem Begriffe nach gegeben ist, also auch die andere Seite
jenes Grundgesetzes noch nicht hervortreten kann, so ist jene Ver-
knüpfung, so weit sie überhaupt bestimmt ist, als eine multiplika-
tive bestimmt. Fassen wir dies zusammen, so ist die Elementar-
grösse eines Vereins von Elementen α, β, .... mit den zugehöri-
gen Gewichten a, b, .... gleich
aα + bβ + .......,
d. h. sie ist als Vielfachensumme der Elemente dargestellt, deren
Koefficienten die den Elementen zugehörigen Gewichte sind, und
zugleich ist dadurch die Addition der Elementargrössen unter sich
bestimmt.

§ 97. Um nun die multiplikative Verknüpfung allgemeiner
darzustellen, haben wir die Multiplikation einer Zahlengrösse mit
einer Elementargrösse so zu definiren, dass auch die andere Seite
des multiplikativen Grundgesetzes fortbesteht; dies geschieht, indem
wir festsetzen, dass eine Vielfachensumme von Elementen mit ei-
ner Zahlengrösse multiplicirt werde, wenn man die Koefficienten
derselben mit dieser Zahlengrösse multiplicirt. Nämlich dann er-
giebt sich sogleich, wenn a und b beliebige Elementargrössen, d.
h. Vielfachensummen von Elementen darstellen, die Geltung der
beiden multiplikativen Grundgesetze
ma + na = (m + n) a
und
ma + mb = m(a + b).
Dass nun auch das Resultat der Division mit einer Zahlengrösse,

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[136/0172] Add. u. Subtr. der Elementargrössen erster St. § 97 selbe Element mehrmals und zwar mit verschiedenen Gewichten behaftet vorkommt, man statt dessen das Element einmal und zwar mit der Summe der Gewichte behaftet setzen kann, ohne dass die Abweichung des Vereins geändert wird, wie dies aus den Gesetzen der Multiplikation von Zahlengrössen mit Strecken bekannt ist. Bezeichnet man daher vorläufig diese zweite Verknüpfungsweise durch das Zeichen ⁀, so hat man, wenn α ein Element, m und n die Gewichte sind, m⁀α + n⁀α = (m + n) ⁀ α, eine Gleichung, welche das multiplikative Grundgesetz in Bezug auf das erste Verknüpfungsglied darstellt, und da die Verknüpfung ei- ner Zahlengrösse mit einem Verein aus mehreren Elementen noch nicht ihrem Begriffe nach gegeben ist, also auch die andere Seite jenes Grundgesetzes noch nicht hervortreten kann, so ist jene Ver- knüpfung, so weit sie überhaupt bestimmt ist, als eine multiplika- tive bestimmt. Fassen wir dies zusammen, so ist die Elementar- grösse eines Vereins von Elementen α, β, .... mit den zugehöri- gen Gewichten a, b, .... gleich aα + bβ + ......., d. h. sie ist als Vielfachensumme der Elemente dargestellt, deren Koefficienten die den Elementen zugehörigen Gewichte sind, und zugleich ist dadurch die Addition der Elementargrössen unter sich bestimmt. § 97. Um nun die multiplikative Verknüpfung allgemeiner darzustellen, haben wir die Multiplikation einer Zahlengrösse mit einer Elementargrösse so zu definiren, dass auch die andere Seite des multiplikativen Grundgesetzes fortbesteht; dies geschieht, indem wir festsetzen, dass eine Vielfachensumme von Elementen mit ei- ner Zahlengrösse multiplicirt werde, wenn man die Koefficienten derselben mit dieser Zahlengrösse multiplicirt. Nämlich dann er- giebt sich sogleich, wenn a und b beliebige Elementargrössen, d. h. Vielfachensummen von Elementen darstellen, die Geltung der beiden multiplikativen Grundgesetze ma + na = (m + n) a und ma + mb = m(a + b). Dass nun auch das Resultat der Division mit einer Zahlengrösse,

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 136. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/172>, abgerufen am 16.02.2025.