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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 93 Koordinatenverwandlung -- Gleichungen.
lässt. Für den allgemeinsten Fall der abstrakten Wissenschaft er-
giebt sich die Lösung unserer Aufgabe mit derselben Leichtigkeit.
In der That ist eine Grösse P als Vielfachensumme gewisser Richt-
masse gegeben, und man will dieselbe als Vielfachen-Summe an-
derer Richtmasse ausdrücken, so hat man den zu einem derselben
A gehörigen Zeiger, wenn B das zu A gehörige ergänzende Richt-
mass ist, nach § 90 gleich
[Formel 1]

§ 93. Was nun die Anwendung auf die Theorie der Glei-
chungen betrifft, so haben wir schon oben (§ 45) die Methode,
Gleichungen des ersten Grades mit mehreren Unbekannten durch
Hülfe unserer Analyse aufzulösen, vor weggenommen. Wir setzen
diesen Gegenstand hier fort, indem wir die durch unsere Wissen-
schaft dargebotene Methode, aus Gleichungen höherer Grade mit
mehreren Unbekannten die Unbekannten zu eliminiren, darlegen.
Es seien zwei Gleichungen höherer Grade mit mehreren Unbe
kannten gegeben, es soll eine derselben, etwa y, eliminirt, also
eine Gleichung zwischen den übrigen Unbekannten aufgestellt
werden. Die gegebenen Gleichungen seien nach Potenzen von y
geordnet:
amym + .......... + a1y + a0 = 0
bnyn + .......... + b1y + b0 = 0,
wo am .... a0 und bn .... b0 beliebige Funktionen der andern Un-
bekannten sind, a0 und b0 aber nicht gleich 0 sein sollen. Multi-
plicirt man die erste Gleichung nach der Reihe mit y, y2 .... yn,
die letzte nach und nach mit y, y2 .... ym, so erhält man m + n
neue Gleichungen. Betrachtet man die Koefficienten einer jeden
dieser m + n Gleichungen als unter sich gleichartig, hingegen die
der verschiedenen Gleichungen als von einander unabhängig (auch
wenn sie bis dahin mit demselben Buchstaben bezeichnet waren),
so erhält man, wenn man die so aufgefassten Gleichungen im Sinne
unserer Wissenschaft addirt, eine Gleichung von der Form
em+nym+n + ...... e1y = 0.

Multipliciren wir diese Gleichung mit dem äusseren Produkt
e2 . e3 .... em+n, so fallen alle Glieder bis auf das letzte nach den

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§ 93 Koordinatenverwandlung — Gleichungen.
lässt. Für den allgemeinsten Fall der abstrakten Wissenschaft er-
giebt sich die Lösung unserer Aufgabe mit derselben Leichtigkeit.
In der That ist eine Grösse P als Vielfachensumme gewisser Richt-
masse gegeben, und man will dieselbe als Vielfachen-Summe an-
derer Richtmasse ausdrücken, so hat man den zu einem derselben
A gehörigen Zeiger, wenn B das zu A gehörige ergänzende Richt-
mass ist, nach § 90 gleich
[Formel 1]

§ 93. Was nun die Anwendung auf die Theorie der Glei-
chungen betrifft, so haben wir schon oben (§ 45) die Methode,
Gleichungen des ersten Grades mit mehreren Unbekannten durch
Hülfe unserer Analyse aufzulösen, vor weggenommen. Wir setzen
diesen Gegenstand hier fort, indem wir die durch unsere Wissen-
schaft dargebotene Methode, aus Gleichungen höherer Grade mit
mehreren Unbekannten die Unbekannten zu eliminiren, darlegen.
Es seien zwei Gleichungen höherer Grade mit mehreren Unbe
kannten gegeben, es soll eine derselben, etwa y, eliminirt, also
eine Gleichung zwischen den übrigen Unbekannten aufgestellt
werden. Die gegebenen Gleichungen seien nach Potenzen von y
geordnet:
amym + .......... + a1y + a0 = 0
bnyn + .......... + b1y + b0 = 0,
wo am .... a0 und bn .... b0 beliebige Funktionen der andern Un-
bekannten sind, a0 und b0 aber nicht gleich 0 sein sollen. Multi-
plicirt man die erste Gleichung nach der Reihe mit y, y2 .... yn,
die letzte nach und nach mit y, y2 .... ym, so erhält man m + n
neue Gleichungen. Betrachtet man die Koefficienten einer jeden
dieser m + n Gleichungen als unter sich gleichartig, hingegen die
der verschiedenen Gleichungen als von einander unabhängig (auch
wenn sie bis dahin mit demselben Buchstaben bezeichnet waren),
so erhält man, wenn man die so aufgefassten Gleichungen im Sinne
unserer Wissenschaft addirt, eine Gleichung von der Form
em+nym+n + ...... e1y = 0.

Multipliciren wir diese Gleichung mit dem äusseren Produkt
e2 . e3 .... em+n, so fallen alle Glieder bis auf das letzte nach den

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[129/0165] § 93 Koordinatenverwandlung — Gleichungen. lässt. Für den allgemeinsten Fall der abstrakten Wissenschaft er- giebt sich die Lösung unserer Aufgabe mit derselben Leichtigkeit. In der That ist eine Grösse P als Vielfachensumme gewisser Richt- masse gegeben, und man will dieselbe als Vielfachen-Summe an- derer Richtmasse ausdrücken, so hat man den zu einem derselben A gehörigen Zeiger, wenn B das zu A gehörige ergänzende Richt- mass ist, nach § 90 gleich [FORMEL] § 93. Was nun die Anwendung auf die Theorie der Glei- chungen betrifft, so haben wir schon oben (§ 45) die Methode, Gleichungen des ersten Grades mit mehreren Unbekannten durch Hülfe unserer Analyse aufzulösen, vor weggenommen. Wir setzen diesen Gegenstand hier fort, indem wir die durch unsere Wissen- schaft dargebotene Methode, aus Gleichungen höherer Grade mit mehreren Unbekannten die Unbekannten zu eliminiren, darlegen. Es seien zwei Gleichungen höherer Grade mit mehreren Unbe kannten gegeben, es soll eine derselben, etwa y, eliminirt, also eine Gleichung zwischen den übrigen Unbekannten aufgestellt werden. Die gegebenen Gleichungen seien nach Potenzen von y geordnet: amym + .......... + a1y + a0 = 0 bnyn + .......... + b1y + b0 = 0, wo am .... a0 und bn .... b0 beliebige Funktionen der andern Un- bekannten sind, a0 und b0 aber nicht gleich 0 sein sollen. Multi- plicirt man die erste Gleichung nach der Reihe mit y, y2 .... yn, die letzte nach und nach mit y, y2 .... ym, so erhält man m + n neue Gleichungen. Betrachtet man die Koefficienten einer jeden dieser m + n Gleichungen als unter sich gleichartig, hingegen die der verschiedenen Gleichungen als von einander unabhängig (auch wenn sie bis dahin mit demselben Buchstaben bezeichnet waren), so erhält man, wenn man die so aufgefassten Gleichungen im Sinne unserer Wissenschaft addirt, eine Gleichung von der Form em+nym+n + ...... e1y = 0. Multipliciren wir diese Gleichung mit dem äusseren Produkt e2 . e3 .... em+n, so fallen alle Glieder bis auf das letzte nach den 9

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 129. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/165>, abgerufen am 16.02.2025.