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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Aeussere Division. -- Zahlengrösse. § 71
diese Ausdehnung fortschreitend mit den Faktoren jenes Pro-
duktes multiplicirt wird."

Hiernach ist also, wenn A, B, C ... von einander unabhängig sind,
[Formel 1] Die zweite Folgerung, die wir vorher ableiteten, sagt nun aus, dass
man Zahlengrössen als Faktoren unmittelbar vertauschen könne.

§ 71. Um nun die Geltung aller Gesetze arithmetischer Mul-
tiplikation und Division (s. § 6) für die Zahlengrössen nachzuwei-
sen, haben wir noch die Eindeutigkeit des Quotienten , so lange
a nicht null ist, darzuthun. Es bedeutet nach der allgemeinen
Definition analytischer Verknüpfungen diejenige Grösse, welche
mit a multiplicirt b giebt; es sei nun ag gleich b, so haben wir
zu zeigen, dass, wenn zugleich ag' gleich b sei, g nothwendig gleich
g' sein müsse, vorausgesetzt noch immer, dass a nicht null sei.
Es soll also, wenn A irgend eine Ausdehnung vorstellt, voraus ge-
setzt werden, dass
Ab = A (ag) = A (ag')
sei; da man aber nach dem vorigen §. statt mit dem Produkte, mit
den einzelnen Faktoren multipliciren kann, so hat man auch
(Aa) g = (Aa) g'.

Nun haben wir aber bei der Definition der Zahlengrösse fest-
gesetzt, dass zwei Zahlengrössen, welche mit derselben Ausdehnung
multiplicirt gleiches Resultat geben, auch als gleich betrachtet wer-
den müssen. Ist nun a nicht null, so ist Aa eine wirkliche Aus-
dehnung, also nach der angeführten Bestimmung g = g', d. h. der
Quotient zweier Zahlengrössen eindeutig, so lange der Divisor nicht
null ist. Da nun auf der Vertauschbarkeit und Vereinbarkeit der
Faktoren, wie auch auf der Eindeutigkeit des Quotienten in dem
angegebenen Umfange, alle Gesetze arithmetischer Multiplikation
und Division beruhen (§ 6) und dieselben Gesetze auch für die
Verknüpfung der Zahlengrössen mit den Ausdehnungen gelten (§
68), so ergiebt sich, dass
"alle Gesetze arithmetischer Multiplikation und Division für die

Aeussere Division. — Zahlengrösse. § 71
diese Ausdehnung fortschreitend mit den Faktoren jenes Pro-
duktes multiplicirt wird.“

Hiernach ist also, wenn A, B, C ... von einander unabhängig sind,
[Formel 1] Die zweite Folgerung, die wir vorher ableiteten, sagt nun aus, dass
man Zahlengrössen als Faktoren unmittelbar vertauschen könne.

§ 71. Um nun die Geltung aller Gesetze arithmetischer Mul-
tiplikation und Division (s. § 6) für die Zahlengrössen nachzuwei-
sen, haben wir noch die Eindeutigkeit des Quotienten , so lange
α nicht null ist, darzuthun. Es bedeutet nach der allgemeinen
Definition analytischer Verknüpfungen diejenige Grösse, welche
mit α multiplicirt β giebt; es sei nun αγ gleich β, so haben wir
zu zeigen, dass, wenn zugleich αγ′ gleich β sei, γ nothwendig gleich
γ′ sein müsse, vorausgesetzt noch immer, dass α nicht null sei.
Es soll also, wenn A irgend eine Ausdehnung vorstellt, voraus ge-
setzt werden, dass
Aβ = A (αγ) = A (αγ′)
sei; da man aber nach dem vorigen §. statt mit dem Produkte, mit
den einzelnen Faktoren multipliciren kann, so hat man auch
(Aα) γ = (Aα) γ′.

Nun haben wir aber bei der Definition der Zahlengrösse fest-
gesetzt, dass zwei Zahlengrössen, welche mit derselben Ausdehnung
multiplicirt gleiches Resultat geben, auch als gleich betrachtet wer-
den müssen. Ist nun α nicht null, so ist Aα eine wirkliche Aus-
dehnung, also nach der angeführten Bestimmung γ = γ′, d. h. der
Quotient zweier Zahlengrössen eindeutig, so lange der Divisor nicht
null ist. Da nun auf der Vertauschbarkeit und Vereinbarkeit der
Faktoren, wie auch auf der Eindeutigkeit des Quotienten in dem
angegebenen Umfange, alle Gesetze arithmetischer Multiplikation
und Division beruhen (§ 6) und dieselben Gesetze auch für die
Verknüpfung der Zahlengrössen mit den Ausdehnungen gelten (§
68), so ergiebt sich, dass
„alle Gesetze arithmetischer Multiplikation und Division für die

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[106/0142] Aeussere Division. — Zahlengrösse. § 71 diese Ausdehnung fortschreitend mit den Faktoren jenes Pro- duktes multiplicirt wird.“ Hiernach ist also, wenn A, B, C ... von einander unabhängig sind, [FORMEL] Die zweite Folgerung, die wir vorher ableiteten, sagt nun aus, dass man Zahlengrössen als Faktoren unmittelbar vertauschen könne. § 71. Um nun die Geltung aller Gesetze arithmetischer Mul- tiplikation und Division (s. § 6) für die Zahlengrössen nachzuwei- sen, haben wir noch die Eindeutigkeit des Quotienten [FORMEL], so lange α nicht null ist, darzuthun. Es bedeutet nach der allgemeinen Definition analytischer Verknüpfungen [FORMEL] diejenige Grösse, welche mit α multiplicirt β giebt; es sei nun αγ gleich β, so haben wir zu zeigen, dass, wenn zugleich αγ′ gleich β sei, γ nothwendig gleich γ′ sein müsse, vorausgesetzt noch immer, dass α nicht null sei. Es soll also, wenn A irgend eine Ausdehnung vorstellt, voraus ge- setzt werden, dass Aβ = A (αγ) = A (αγ′) sei; da man aber nach dem vorigen §. statt mit dem Produkte, mit den einzelnen Faktoren multipliciren kann, so hat man auch (Aα) γ = (Aα) γ′. Nun haben wir aber bei der Definition der Zahlengrösse fest- gesetzt, dass zwei Zahlengrössen, welche mit derselben Ausdehnung multiplicirt gleiches Resultat geben, auch als gleich betrachtet wer- den müssen. Ist nun α nicht null, so ist Aα eine wirkliche Aus- dehnung, also nach der angeführten Bestimmung γ = γ′, d. h. der Quotient zweier Zahlengrössen eindeutig, so lange der Divisor nicht null ist. Da nun auf der Vertauschbarkeit und Vereinbarkeit der Faktoren, wie auch auf der Eindeutigkeit des Quotienten in dem angegebenen Umfange, alle Gesetze arithmetischer Multiplikation und Division beruhen (§ 6) und dieselben Gesetze auch für die Verknüpfung der Zahlengrössen mit den Ausdehnungen gelten (§ 68), so ergiebt sich, dass „alle Gesetze arithmetischer Multiplikation und Division für die

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 106. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/142>, abgerufen am 27.04.2024.