Verknüpfung der Zahlengrössen unter sich und mit den Aus- dehnungsgrössen gelten."*)
Hierdurch ist nun zugleich der wesentliche Zusammenhang zwi- schen der arithmetischen und der äusseren Multiplikation darge- than, indem jene als specielle Gattung von dieser erscheint für den Fall nämlich, dass die Faktoren Ausdehnungsgrössen nullter Stufe sind. Wir bedienen uns daher für die Multiplikation der Zahlen- grössen beliebig bald des Punktes bald des unmittelbaren Anein- anderschreibens, indem das letztere uns oft bequem ist, um die Klammern zu ersparen und dadurch die Uebersicht zu erleichtern.
§ 72. Um zur Addition zweier Zahlengrössen (a und b) zu gelangen, haben wir zunächst den Ausdruck a C + b C = C1 zu betrachten, und die Zahlengrösse zu suchen, mit welcher C mul- tiplicirt werden muss, damit derselbe Werth C1 hervorgehe. Zu dem Ende seien a, b dargestellt in den Formen und , wo a von C unabhängig sei. Die obige Gleichung verwandelt sich dann in C + C = C1 und durch die Multiplikation mit a in a1 . C + a2 . C = a . C1, oder (a1 + a2) C = a C1, also
[Formel 5]
Wir haben somit den Satz gewonnen, dass
[Formel 6]
sei, und zwar zunächst nur, wenn a von C unabhängig ist, aber auf dieselbe Weise wie in § 70 lässt sich dies auf den Fall der Abhän- gigkeit ausdehnen. Aus diesem Satze nun geht hervor, dass wenn a C + b C = g C ist, dann auch, weil der Ausdruck für g nur von a und b und nicht
*) Wir entlehnen dabei nichts aus der Arithmetik, als nur den Namen, in- dem wir die Gesetze dieser Verknüpfungen in dem ersten Kapitel § 6 unabhängig dargethan haben.
§ 72 Division u. Addition zweier Zahlengrössen.
Verknüpfung der Zahlengrössen unter sich und mit den Aus- dehnungsgrössen gelten.“*)
Hierdurch ist nun zugleich der wesentliche Zusammenhang zwi- schen der arithmetischen und der äusseren Multiplikation darge- than, indem jene als specielle Gattung von dieser erscheint für den Fall nämlich, dass die Faktoren Ausdehnungsgrössen nullter Stufe sind. Wir bedienen uns daher für die Multiplikation der Zahlen- grössen beliebig bald des Punktes bald des unmittelbaren Anein- anderschreibens, indem das letztere uns oft bequem ist, um die Klammern zu ersparen und dadurch die Uebersicht zu erleichtern.
§ 72. Um zur Addition zweier Zahlengrössen (α und β) zu gelangen, haben wir zunächst den Ausdruck α C + β C = C1 zu betrachten, und die Zahlengrösse zu suchen, mit welcher C mul- tiplicirt werden muss, damit derselbe Werth C1 hervorgehe. Zu dem Ende seien α, β dargestellt in den Formen und , wo a von C unabhängig sei. Die obige Gleichung verwandelt sich dann in C + C = C1 und durch die Multiplikation mit a in a1 . C + a2 . C = a . C1, oder (a1 + a2) C = a C1, also
[Formel 5]
Wir haben somit den Satz gewonnen, dass
[Formel 6]
sei, und zwar zunächst nur, wenn a von C unabhängig ist, aber auf dieselbe Weise wie in § 70 lässt sich dies auf den Fall der Abhän- gigkeit ausdehnen. Aus diesem Satze nun geht hervor, dass wenn α C + β C = γ C ist, dann auch, weil der Ausdruck für γ nur von α und β und nicht
*) Wir entlehnen dabei nichts aus der Arithmetik, als nur den Namen, in- dem wir die Gesetze dieser Verknüpfungen in dem ersten Kapitel § 6 unabhängig dargethan haben.
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§ 72 Division u. Addition zweier Zahlengrössen.
Verknüpfung der Zahlengrössen unter sich und mit den Aus-
dehnungsgrössen gelten.“ *)
Hierdurch ist nun zugleich der wesentliche Zusammenhang zwi-
schen der arithmetischen und der äusseren Multiplikation darge-
than, indem jene als specielle Gattung von dieser erscheint für den
Fall nämlich, dass die Faktoren Ausdehnungsgrössen nullter Stufe
sind. Wir bedienen uns daher für die Multiplikation der Zahlen-
grössen beliebig bald des Punktes bald des unmittelbaren Anein-
anderschreibens, indem das letztere uns oft bequem ist, um die
Klammern zu ersparen und dadurch die Uebersicht zu erleichtern.
§ 72. Um zur Addition zweier Zahlengrössen (α und β) zu
gelangen, haben wir zunächst den Ausdruck
α C + β C = C1
zu betrachten, und die Zahlengrösse zu suchen, mit welcher C mul-
tiplicirt werden muss, damit derselbe Werth C1 hervorgehe. Zu
dem Ende seien α, β dargestellt in den Formen [FORMEL] und [FORMEL], wo a
von C unabhängig sei. Die obige Gleichung verwandelt sich dann in
[FORMEL] C + [FORMEL] C = C1
und durch die Multiplikation mit a in
a1 . C + a2 . C = a . C1, oder (a1 + a2) C = a C1,
also
[FORMEL] Wir haben somit den Satz gewonnen, dass
[FORMEL] sei, und zwar zunächst nur, wenn a von C unabhängig ist, aber auf
dieselbe Weise wie in § 70 lässt sich dies auf den Fall der Abhän-
gigkeit ausdehnen. Aus diesem Satze nun geht hervor, dass wenn
α C + β C = γ C
ist, dann auch, weil der Ausdruck für γ nur von α und β und nicht
*) Wir entlehnen dabei nichts aus der Arithmetik, als nur den Namen, in-
dem wir die Gesetze dieser Verknüpfungen in dem ersten Kapitel § 6 unabhängig
dargethan haben.
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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 107. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/143>, abgerufen am 23.11.2024.
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