Hülfe, welche so wohl von A. B. C ....... als auch von diesen neuen Grössen A. B. G ... unabhängig ist, so ergiebt sich Q a b g .... vermöge der ersten Grössen gleich
[Formel 1]
vermöge der zweiten aber gleich Qr. Also ist
[Formel 2]
Nun war aber P . abg ... = Pr vermöge der zweiten Reihe von Formen, also ist auch vermöge des gefundenen Werthes für r
[Formel 3]
. Es ist also das obige Gesetz in seiner ganzen Allgemeinheit be- wiesen.
§ 70. Hieraus gehen sogleich zwei für die Verknüpfung der Zahlengrössen höchst wichtige Folgerungen hervor, nämlich erstens, dass, wenn für irgend eine Grösse P die fortschreitende Multiplika- tion mit mehreren Zahlengrössen a, b, g ... durch die Multiplika- tion mit einer bestimmten Zahlengrösse r ersetzt wird, dies auch für jede andere Grösse gilt, die statt P gesetzt wird, indem nämlich der für r im vorigen § gewonnene Ausdruck gänzlich unabhängig ist von P, und nur von den Zahlengrössen a, b, ... abhängt; zwei- tens dass die Zahlengrössen auch beliebig unter sich vertauscht wer- den können, weil man in dem Produkt im Zähler und Nenner gleiche Vertauschungen vornehmen kann, indem dadurch in beiden gleiche Zeichenänderungen, also für den Werth des Quo- tienten gar keine hervorgeht. Die erste dieser Folgerungen be- rechtigt uns, das Produkt abg ... selbst gleich r zu setzen. Also:
"Unter dem Produkte mehrerer Zahlengrössen ist diejenige Zahlengrösse zu verstehen, welche in ihrer Multiplikation mit irgend einer Ausdehnung dasselbe Resultat liefert, als wenn
§ 70 Produkt mehrerer Zahlengrössen.
Hülfe, welche so wohl von A. B. C ....... als auch von diesen neuen Grössen A. B. Γ ... unabhängig ist, so ergiebt sich Q α β γ .... vermöge der ersten Grössen gleich
[Formel 1]
vermöge der zweiten aber gleich Qρ. Also ist
[Formel 2]
Nun war aber P . αβγ ... = Pρ vermöge der zweiten Reihe von Formen, also ist auch vermöge des gefundenen Werthes für ρ
[Formel 3]
. Es ist also das obige Gesetz in seiner ganzen Allgemeinheit be- wiesen.
§ 70. Hieraus gehen sogleich zwei für die Verknüpfung der Zahlengrössen höchst wichtige Folgerungen hervor, nämlich erstens, dass, wenn für irgend eine Grösse P die fortschreitende Multiplika- tion mit mehreren Zahlengrössen α, β, γ ... durch die Multiplika- tion mit einer bestimmten Zahlengrösse ρ ersetzt wird, dies auch für jede andere Grösse gilt, die statt P gesetzt wird, indem nämlich der für ρ im vorigen § gewonnene Ausdruck gänzlich unabhängig ist von P, und nur von den Zahlengrössen α, β, ... abhängt; zwei- tens dass die Zahlengrössen auch beliebig unter sich vertauscht wer- den können, weil man in dem Produkt im Zähler und Nenner gleiche Vertauschungen vornehmen kann, indem dadurch in beiden gleiche Zeichenänderungen, also für den Werth des Quo- tienten gar keine hervorgeht. Die erste dieser Folgerungen be- rechtigt uns, das Produkt αβγ ... selbst gleich ρ zu setzen. Also:
„Unter dem Produkte mehrerer Zahlengrössen ist diejenige Zahlengrösse zu verstehen, welche in ihrer Multiplikation mit irgend einer Ausdehnung dasselbe Resultat liefert, als wenn
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[105/0141]
§ 70 Produkt mehrerer Zahlengrössen.
Hülfe, welche so wohl von A. B. C ....... als auch von diesen neuen
Grössen A. B. Γ ... unabhängig ist, so ergiebt sich Q α β γ ....
vermöge der ersten Grössen gleich
[FORMEL] vermöge der zweiten aber gleich
Qρ.
Also ist
[FORMEL]
Nun war aber
P . αβγ ... = Pρ
vermöge der zweiten Reihe von Formen, also ist auch vermöge des
gefundenen Werthes für ρ
[FORMEL].
Es ist also das obige Gesetz in seiner ganzen Allgemeinheit be-
wiesen.
§ 70. Hieraus gehen sogleich zwei für die Verknüpfung der
Zahlengrössen höchst wichtige Folgerungen hervor, nämlich erstens,
dass, wenn für irgend eine Grösse P die fortschreitende Multiplika-
tion mit mehreren Zahlengrössen α, β, γ ... durch die Multiplika-
tion mit einer bestimmten Zahlengrösse ρ ersetzt wird, dies auch
für jede andere Grösse gilt, die statt P gesetzt wird, indem nämlich
der für ρ im vorigen § gewonnene Ausdruck gänzlich unabhängig
ist von P, und nur von den Zahlengrössen α, β, ... abhängt; zwei-
tens dass die Zahlengrössen auch beliebig unter sich vertauscht wer-
den können, weil man in dem Produkt [FORMEL] im Zähler und
Nenner gleiche Vertauschungen vornehmen kann, indem dadurch
in beiden gleiche Zeichenänderungen, also für den Werth des Quo-
tienten gar keine hervorgeht. Die erste dieser Folgerungen be-
rechtigt uns, das Produkt αβγ ... selbst gleich ρ zu setzen. Also:
„Unter dem Produkte mehrerer Zahlengrössen ist diejenige
Zahlengrösse zu verstehen, welche in ihrer Multiplikation mit
irgend einer Ausdehnung dasselbe Resultat liefert, als wenn
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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 105. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/141>, abgerufen am 28.04.2024.
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