Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

Aeussere Division. — Zahlengrösse. § 69

§ 69. Zu dem Begriffe des Produktes mehrerer Zahlengrössen ge-
langen wir vom fortschreitenden Produkte aus. Setzen wir das Produkt
[Formel 1] .)
wo die Ausdehnung P mit den Zahlengrössen α, β, γ, .... fort-
schreitend, d. h. so multiplicirt werden soll, dass das Resultat je-
der früherer Multiplikation mit der nächstfolgenden Zahlengrösse
multiplicirt wird: so entsteht die Aufgabe, eine Zahlengrösse zu fin-
den, mit welcher P multiplicirt sogleich dasselbe Resultat P₁ gebe.
Zu dem Ende seien α, β, γ, ... dargestellt in den Formen $\frac {A_1}{A}$, $\frac {B_1}{B}$,
$\frac {C_1}{C}$ ...., so dass P, A, B, C .... alle von einander unabhängig seien.
Multiplicirt man dann beide Seiten der obigen Gleichung [̇]) mit
A . B . C ..., so kann man nach dem vorigen § die Zahlengrössen
α, β, γ ... oder $\frac {A_1}{A}$, $\frac {B_1}{B}$, $\frac {C_1}{C}$, ... jedem beliebigen dieser Faktoren
zuordnen, also auch $\frac {A_1}{A}$ dem A u. s. w., und erhält dadurch
[Formel 9]

Also ist, da P₁ dem P gleichartig ist, nach der Definition des
Quotienten
[Formel 10] Somit haben wir das Gesetz, dass
„ [Formel 11] “
ist, zunächst zwar nur, wenn P von A . B . C ... unabhängig ist, aber
demnächst auch, wenn P hiervon abhängig ist. Um dies zu zeigen,
stellen wir zuerst die Zahlengrössen α, β, γ ... oder die Quotienten
$\frac {A_1}{A}$ .... in neuen Formen ($\frac{A_1}{A}$ etc.) dar, so dass P von A.B.Γ.... unab-
hängig ist, so werden wir nun das obige Gesetz anwenden können, und
eine Zahlengrösse ρ erhalten, welche statt der fortschreitenden Fak-
toren $\frac {A_1}{A}$,... (oder $\frac{A_1}{A}$ ....) gesetzt werden kann und welche gleich
$\frac{\Alpha_1.\Beta_1.\Gamma_1 ....}{\Alpha.\Beta.\Gamma ....}$ ist. Nimmt man nun eine Ausdehnung Q zu