Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
§ 68 Proportion. -- Zahlengrösse als Faktor. kann, ohne den Werth des Resultates zu ändern. In der That ist,[Formel 2] Denn es sei aB oder [Formel 4] , so hat man durch Multiplikation mit C [Formel 5] ; also auch nach der Definition [Formel 6] Was die Vertauschbarkeit anbetrifft, so ist die Bedeutung des Aus- drucks Aa, wo A eine beliebige Ausdehnung, a aber eine Zahlen- grösse ist, noch nicht festgesetzt; und wir können diese Bedeutung nach der Analogie bestimmen. Nämlich da die Ausdehnungsgrösse nullter Stufe als Ausdehnungsgrösse von gerader Stufe erscheint, eine solche aber in einem äusseren Produkt beliebig geordnet wer- den darf, so können wir feststellen, dass unter Aa dasselbe ver- standen sein solle, wie unter aA, woraus dann folgt, "dass die Stellung einer Zahlengrösse innerhalb eines äusse- Was endlich den Quotienten einer Ausdehnung durch eine Zahlen- § 68 Proportion. — Zahlengrösse als Faktor. kann, ohne den Werth des Resultates zu ändern. In der That ist,[Formel 2] Denn es sei αB oder [Formel 4] , so hat man durch Multiplikation mit C [Formel 5] ; also auch nach der Definition [Formel 6] Was die Vertauschbarkeit anbetrifft, so ist die Bedeutung des Aus- drucks Aα, wo A eine beliebige Ausdehnung, α aber eine Zahlen- grösse ist, noch nicht festgesetzt; und wir können diese Bedeutung nach der Analogie bestimmen. Nämlich da die Ausdehnungsgrösse nullter Stufe als Ausdehnungsgrösse von gerader Stufe erscheint, eine solche aber in einem äusseren Produkt beliebig geordnet wer- den darf, so können wir feststellen, dass unter Aα dasselbe ver- standen sein solle, wie unter αA, woraus dann folgt, „dass die Stellung einer Zahlengrösse innerhalb eines äusse- Was endlich den Quotienten einer Ausdehnung durch eine Zahlen- <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0139" n="103"/><fw place="top" type="header"><hi rendition="#b">§ 68</hi> Proportion. — Zahlengrösse als Faktor.</fw><lb/> kann, ohne den Werth des Resultates zu ändern. In der That ist,<lb/><formula notation="TeX">\frac {a_1}{a}</formula> mit α bezeichnet,<lb/><formula/> Denn es sei αB oder <formula notation="TeX">\frac {a_1}{a}</formula>B = B<hi rendition="#sub">1</hi>, oder<lb/><formula/>,<lb/> so hat man durch Multiplikation mit C<lb/><formula/>;<lb/> also auch nach der Definition<lb/><formula/> Was die Vertauschbarkeit anbetrifft, so ist die Bedeutung des Aus-<lb/> drucks Aα, wo A eine beliebige Ausdehnung, α aber eine Zahlen-<lb/> grösse ist, noch nicht festgesetzt; und wir können diese Bedeutung<lb/> nach der Analogie bestimmen. Nämlich da die Ausdehnungsgrösse<lb/> nullter Stufe als Ausdehnungsgrösse von gerader Stufe erscheint,<lb/> eine solche aber in einem äusseren Produkt beliebig geordnet wer-<lb/> den darf, so können wir feststellen, dass unter Aα dasselbe ver-<lb/> standen sein solle, wie unter αA, woraus dann folgt,</p><lb/> <cit> <quote> <hi rendition="#et">„dass die Stellung einer Zahlengrösse innerhalb eines äusse-<lb/> ren Produktes ganz gleichgültig ist.“</hi> </quote> </cit><lb/> <p>Was endlich den Quotienten einer Ausdehnung durch eine Zahlen-<lb/> grösse betrifft, so ist dessen Bedeutung aus dem allgemeinen Be-<lb/> griff der Division sogleich klar, und die Eindeutigkeit dieses Quo-<lb/> tienten, so lange der Divisor nicht 0 wird, ergiebt sich leicht. In<lb/> der That es sei<lb/><formula/> wo a von B unabhängig sei, so hat man<lb/><formula/>,<lb/> und wir haben oben gezeigt, dass es nur Einen mit B gleicharti-<lb/> gen Werth X giebt, welcher dieser letzten Gleichung genügt, wäh-<lb/> rend jene Gleichartigkeit in den vorhergehenden Gleichungen aus-<lb/> gesagt ist.</p><lb/> </div> </div> </body> </text> </TEI> [103/0139]
§ 68 Proportion. — Zahlengrösse als Faktor.
kann, ohne den Werth des Resultates zu ändern. In der That ist,
[FORMEL] mit α bezeichnet,
[FORMEL] Denn es sei αB oder [FORMEL]B = B1, oder
[FORMEL],
so hat man durch Multiplikation mit C
[FORMEL];
also auch nach der Definition
[FORMEL] Was die Vertauschbarkeit anbetrifft, so ist die Bedeutung des Aus-
drucks Aα, wo A eine beliebige Ausdehnung, α aber eine Zahlen-
grösse ist, noch nicht festgesetzt; und wir können diese Bedeutung
nach der Analogie bestimmen. Nämlich da die Ausdehnungsgrösse
nullter Stufe als Ausdehnungsgrösse von gerader Stufe erscheint,
eine solche aber in einem äusseren Produkt beliebig geordnet wer-
den darf, so können wir feststellen, dass unter Aα dasselbe ver-
standen sein solle, wie unter αA, woraus dann folgt,
„dass die Stellung einer Zahlengrösse innerhalb eines äusse-
ren Produktes ganz gleichgültig ist.“
Was endlich den Quotienten einer Ausdehnung durch eine Zahlen-
grösse betrifft, so ist dessen Bedeutung aus dem allgemeinen Be-
griff der Division sogleich klar, und die Eindeutigkeit dieses Quo-
tienten, so lange der Divisor nicht 0 wird, ergiebt sich leicht. In
der That es sei
[FORMEL] wo a von B unabhängig sei, so hat man
[FORMEL],
und wir haben oben gezeigt, dass es nur Einen mit B gleicharti-
gen Werth X giebt, welcher dieser letzten Gleichung genügt, wäh-
rend jene Gleichartigkeit in den vorhergehenden Gleichungen aus-
gesagt ist.
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