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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Aeussere Divisions. -- Zahlengrösse. § 68
oder da man dem zweiten Faktor Stücke hinzufügen darf, die dem
ersten gleichartig sind,
[Formel 1] d. h. (a + b) und (a1 + b1) sind gleichartig oder können als Theile
desselben Systems erster St. aufgefasst werden. Nach der Erzeu-
gungsweise des Systems erster St. mussten dann a1 und b1 ent-
sprechende Theile von a und b sein. Schreibt man nun die ur-
sprüngliche Gleichung als Proportion
[Formel 2] so gelangt man zu dem Satze: Vier Strecken stehen in Proportion,
wenn die erste von der zweiten der entsprechende Theil ist, wie
die dritte von der vierten. Nach dem Begriff des Quotienten zweier
gleichartiger Grössen bleibt der Werth desselben ungeändert, wenn
man Dividend und Divisor mit derselben unabhängigen Ausdehnung
multiplicirt, den Quotienten erweitert; nämlich wenn
[Formel 3] ist, so ist auch
[Formel 4] Somit kann man auch jedes Verhältniss durch eine beliebige Aus
dehnung erweitern. Nun können wir sagen, dass a1 . E von a . E
der entsprechende Theil ist, wie a1 von a, und somit haben
wir den allgemeinen Satz: Vier Grössen stehen in Proportion,
wenn die erste von der zweiten der entsprechende Theil ist, wie
die dritte von der vierten.

§ 68. Wir haben nun die Verknüpfungen dieser neu gewon-
nenen Grössen, die wir Zahlengrössen nennen, sowohl unter sich,
als mit den Ausdehnungsgrössen darzustellen. Die multiplikative
Verknüpfung derselben mit den Ausdehnungsgrössen haben wir dar-
gestellt, und ihre Beziehung zur Addition gesichert. Wir haben
nun die rein multiplikativen Gesetze dieser Verknüpfung, d. h. die
Vereinbarkeit und Vertauschbarkeit der Faktoren zu untersuchen.
Es ergiebt sich, dass man in einem äusseren Produkt, worin Zah-
lengrössen vorkommen, diese jedem beliebigen Faktor zuordnen

Aeussere Divisions. — Zahlengrösse. § 68
oder da man dem zweiten Faktor Stücke hinzufügen darf, die dem
ersten gleichartig sind,
[Formel 1] d. h. (a + b) und (a1 + b1) sind gleichartig oder können als Theile
desselben Systems erster St. aufgefasst werden. Nach der Erzeu-
gungsweise des Systems erster St. mussten dann a1 und b1 ent-
sprechende Theile von a und b sein. Schreibt man nun die ur-
sprüngliche Gleichung als Proportion
[Formel 2] so gelangt man zu dem Satze: Vier Strecken stehen in Proportion,
wenn die erste von der zweiten der entsprechende Theil ist, wie
die dritte von der vierten. Nach dem Begriff des Quotienten zweier
gleichartiger Grössen bleibt der Werth desselben ungeändert, wenn
man Dividend und Divisor mit derselben unabhängigen Ausdehnung
multiplicirt, den Quotienten erweitert; nämlich wenn
[Formel 3] ist, so ist auch
[Formel 4] Somit kann man auch jedes Verhältniss durch eine beliebige Aus
dehnung erweitern. Nun können wir sagen, dass a1 . E von a . E
der entsprechende Theil ist, wie a1 von a, und somit haben
wir den allgemeinen Satz: Vier Grössen stehen in Proportion,
wenn die erste von der zweiten der entsprechende Theil ist, wie
die dritte von der vierten.

§ 68. Wir haben nun die Verknüpfungen dieser neu gewon-
nenen Grössen, die wir Zahlengrössen nennen, sowohl unter sich,
als mit den Ausdehnungsgrössen darzustellen. Die multiplikative
Verknüpfung derselben mit den Ausdehnungsgrössen haben wir dar-
gestellt, und ihre Beziehung zur Addition gesichert. Wir haben
nun die rein multiplikativen Gesetze dieser Verknüpfung, d. h. die
Vereinbarkeit und Vertauschbarkeit der Faktoren zu untersuchen.
Es ergiebt sich, dass man in einem äusseren Produkt, worin Zah-
lengrössen vorkommen, diese jedem beliebigen Faktor zuordnen

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[102/0138] Aeussere Divisions. — Zahlengrösse. § 68 oder da man dem zweiten Faktor Stücke hinzufügen darf, die dem ersten gleichartig sind, [FORMEL] d. h. (a + b) und (a1 + b1) sind gleichartig oder können als Theile desselben Systems erster St. aufgefasst werden. Nach der Erzeu- gungsweise des Systems erster St. mussten dann a1 und b1 ent- sprechende Theile von a und b sein. Schreibt man nun die ur- sprüngliche Gleichung als Proportion [FORMEL] so gelangt man zu dem Satze: Vier Strecken stehen in Proportion, wenn die erste von der zweiten der entsprechende Theil ist, wie die dritte von der vierten. Nach dem Begriff des Quotienten zweier gleichartiger Grössen bleibt der Werth desselben ungeändert, wenn man Dividend und Divisor mit derselben unabhängigen Ausdehnung multiplicirt, den Quotienten erweitert; nämlich wenn [FORMEL] ist, so ist auch [FORMEL] Somit kann man auch jedes Verhältniss durch eine beliebige Aus dehnung erweitern. Nun können wir sagen, dass a1 . E von a . E der entsprechende Theil ist, wie a1 von a, und somit haben wir den allgemeinen Satz: Vier Grössen stehen in Proportion, wenn die erste von der zweiten der entsprechende Theil ist, wie die dritte von der vierten. § 68. Wir haben nun die Verknüpfungen dieser neu gewon- nenen Grössen, die wir Zahlengrössen nennen, sowohl unter sich, als mit den Ausdehnungsgrössen darzustellen. Die multiplikative Verknüpfung derselben mit den Ausdehnungsgrössen haben wir dar- gestellt, und ihre Beziehung zur Addition gesichert. Wir haben nun die rein multiplikativen Gesetze dieser Verknüpfung, d. h. die Vereinbarkeit und Vertauschbarkeit der Faktoren zu untersuchen. Es ergiebt sich, dass man in einem äusseren Produkt, worin Zah- lengrössen vorkommen, diese jedem beliebigen Faktor zuordnen

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 102. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/138>, abgerufen am 28.04.2024.