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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Verknüpfung höherer Ausdehnungsgrössen. § 54
ist, ergiebt sich leicht. Denn es sei P = c.d ..., so ist
[Formel 1] nach der eben festgesetzten Bestimmung, ferner
[Formel 2] nach § 52, also durch wiederholte Anwendung desselben Gesetes
[Formel 3]

Ist der zweite Faktor zerstückt, so lässt sich das entsprechende
Gesetz hier nur für reale Summen nachweisen, für diese ergiebt
sich aus obiger Gleichung durch Vertauschung (wobei die Zeichen
sich entweder in allen Gliedern oder in keinem ändern)
[Formel 4]

Für formelle Summen ist noch nichts über die Vertauschbarkeit
der Faktoren festgesetzt und daher auch jene Schlussweise noch nicht
anwendbar. Da wir überhaupt noch nichts über den Begriff eines
Produktes, dessen zweiter Faktor eine formelle Summe ist, festge-
setzt haben, so ist uns erlaubt für den Fall, dass der zweite Faktor
eine formelle Summe ist, dieselbe Voraussetzung zu machen, wie
für den Fall, wo der erste es ist, und also auch dann
[Formel 5] zu setzen, und dies selbst auf den Fall zu übertragen, wo auch P
eine formelle Summe darstellt.

§ 54. Nachdem wir nun alle bis dahin noch bestehenden
Schranken aufgehoben, und die Geltung der multiplikativen Grund-
beziehung für alle Ausdehnungsgrössen theils aus dem Begriffe
nachgewiesen, theils durch Definitionen festgestellt haben: so gel-
ten somit alle Gesetze dieser Beziehung, wie auch alle Gesetze der
Addition und Subtraktion, und es sind auf diese Weise alle ange-
gebenen Begriffe im allgemeinsten Sinne gerechtfertigt. Wir fas-
sen daher, nachdem wir am Schlusse dieser Entwickelungsreihe an-
gelangt sind, die Resultate derselben in folgenden Sätzen zusammen:

"Wenn alle Elemente einer Ausdehnung (in ihrer elementaren
Darstellung*)) einer und derselben Erzeugung unterworsen d.
h. statt jedes Elementes eine gleiche Strecke gesetzt wird,
*) Unter der elementaren oder konkreten Darstellung einer Ausdehnung
verstehen wir das Gebilde, welchem diese Ausdehnung zugehört.

Verknüpfung höherer Ausdehnungsgrössen. § 54
ist, ergiebt sich leicht. Denn es sei P = c.d ..., so ist
[Formel 1] nach der eben festgesetzten Bestimmung, ferner
[Formel 2] nach § 52, also durch wiederholte Anwendung desselben Gesetes
[Formel 3]

Ist der zweite Faktor zerstückt, so lässt sich das entsprechende
Gesetz hier nur für reale Summen nachweisen, für diese ergiebt
sich aus obiger Gleichung durch Vertauschung (wobei die Zeichen
sich entweder in allen Gliedern oder in keinem ändern)
[Formel 4]

Für formelle Summen ist noch nichts über die Vertauschbarkeit
der Faktoren festgesetzt und daher auch jene Schlussweise noch nicht
anwendbar. Da wir überhaupt noch nichts über den Begriff eines
Produktes, dessen zweiter Faktor eine formelle Summe ist, festge-
setzt haben, so ist uns erlaubt für den Fall, dass der zweite Faktor
eine formelle Summe ist, dieselbe Voraussetzung zu machen, wie
für den Fall, wo der erste es ist, und also auch dann
[Formel 5] zu setzen, und dies selbst auf den Fall zu übertragen, wo auch P
eine formelle Summe darstellt.

§ 54. Nachdem wir nun alle bis dahin noch bestehenden
Schranken aufgehoben, und die Geltung der multiplikativen Grund-
beziehung für alle Ausdehnungsgrössen theils aus dem Begriffe
nachgewiesen, theils durch Definitionen festgestellt haben: so gel-
ten somit alle Gesetze dieser Beziehung, wie auch alle Gesetze der
Addition und Subtraktion, und es sind auf diese Weise alle ange-
gebenen Begriffe im allgemeinsten Sinne gerechtfertigt. Wir fas-
sen daher, nachdem wir am Schlusse dieser Entwickelungsreihe an-
gelangt sind, die Resultate derselben in folgenden Sätzen zusammen:

„Wenn alle Elemente einer Ausdehnung (in ihrer elementaren
Darstellung*)) einer und derselben Erzeugung unterworſen d.
h. statt jedes Elementes eine gleiche Strecke gesetzt wird,
*) Unter der elementaren oder konkreten Darstellung einer Ausdehnung
verstehen wir das Gebilde, welchem diese Ausdehnung zugehört.
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[82/0118] Verknüpfung höherer Ausdehnungsgrössen. § 54 ist, ergiebt sich leicht. Denn es sei P = c.d ..., so ist [FORMEL] nach der eben festgesetzten Bestimmung, ferner [FORMEL] nach § 52, also durch wiederholte Anwendung desselben Gesetes [FORMEL] Ist der zweite Faktor zerstückt, so lässt sich das entsprechende Gesetz hier nur für reale Summen nachweisen, für diese ergiebt sich aus obiger Gleichung durch Vertauschung (wobei die Zeichen sich entweder in allen Gliedern oder in keinem ändern) [FORMEL] Für formelle Summen ist noch nichts über die Vertauschbarkeit der Faktoren festgesetzt und daher auch jene Schlussweise noch nicht anwendbar. Da wir überhaupt noch nichts über den Begriff eines Produktes, dessen zweiter Faktor eine formelle Summe ist, festge- setzt haben, so ist uns erlaubt für den Fall, dass der zweite Faktor eine formelle Summe ist, dieselbe Voraussetzung zu machen, wie für den Fall, wo der erste es ist, und also auch dann [FORMEL] zu setzen, und dies selbst auf den Fall zu übertragen, wo auch P eine formelle Summe darstellt. § 54. Nachdem wir nun alle bis dahin noch bestehenden Schranken aufgehoben, und die Geltung der multiplikativen Grund- beziehung für alle Ausdehnungsgrössen theils aus dem Begriffe nachgewiesen, theils durch Definitionen festgestellt haben: so gel- ten somit alle Gesetze dieser Beziehung, wie auch alle Gesetze der Addition und Subtraktion, und es sind auf diese Weise alle ange- gebenen Begriffe im allgemeinsten Sinne gerechtfertigt. Wir fas- sen daher, nachdem wir am Schlusse dieser Entwickelungsreihe an- gelangt sind, die Resultate derselben in folgenden Sätzen zusammen: „Wenn alle Elemente einer Ausdehnung (in ihrer elementaren Darstellung *)) einer und derselben Erzeugung unterworſen d. h. statt jedes Elementes eine gleiche Strecke gesetzt wird, *) Unter der elementaren oder konkreten Darstellung einer Ausdehnung verstehen wir das Gebilde, welchem diese Ausdehnung zugehört.

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 82. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/118>, abgerufen am 27.04.2024.