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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 53 Multiplikation von Summengrössen.
Konstantbleiben besteht, und das Princip der Gleichheit das gleich-
zeitige Konstantbleiben erfordert. Also haben wir zu zeigen, dass,
wenn
[Formel 1] ist, auch
[Formel 2] sein müsse. Dies ergiebt sich aber leicht, indem, wenn A + B + ...
der Summe P + Q + ... gleich gesetzt wird, und beides formelle
Summen sind, durch blosse Anwendung der Additionsgesetze (an-
dere Anordnung, Zusammenfassung der Stücke, Auflösung der Stücke
in kleinere Stücke) aus der einen die andere hervorgehen muss.
Da nun jeder solchen Veränderung, welche ohne Aenderung des Ge-
sammtwerthes verstattet ist, eine ebensolche mit den um den Fak-
tor p vermehrten Grössen entspricht, so wird, wenn man mit diesen
die entsprechenden Operationen, wie mit jenen vornimmt, gleich-
zeitig, während sich A + B + .... in P + Q + .... verwandelt,
auch A.p + B.p + ... in P.p + Q.p + ... übergehen. Somit
wird es gestattet sein, jene Definition festzustellen, welche hiernach
nichts ist, als eine abgekürzte Schreibart.

§ 53. Da ferner, wenn mit mehreren Strecken fortschreitend
d. h. so multiplicirt wird, dass das jedesmal gewonnene Resultat
mit dem nächstfolgenden Faktor multiplicirt wird, das Gesammtpro-
dukt stets gleichen Werth behält, sobald das Produkt jener Strecken
sich gleich bleibt, so können wir abkürzend statt jener Strecken,
mit welchen fortschreitend multiplicirt ist, ihr Produkt setzen.
Hierdurch ist der Begriff des Produktes zweier Ausdehnungen be-
stimmt, und so auch das Produkt einer formellen Summe in eine
Ausdehnung, ein Produkt, was zwar im Allgemeinen wieder eine
formelle Summe liefert, aber in besonderen Fällen auch in eine
Ausdehnung übergehen kann. *)

Dass nun nach dieser Bestimmung allgemein
[Formel 3]

*) Nämlich, wenn die Stücke der Summe von n-ter Stufe sind und einem
System (n + m)ter Stufe angehören, so wird durch Multiplikation mit einer Aus-
dehnung (m--1) ter Stufe desselben Systemes offenbar die formelle Summe in
eine Ausdchnung verwandelt.
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§ 53 Multiplikation von Summengrössen.
Konstantbleiben besteht, und das Princip der Gleichheit das gleich-
zeitige Konstantbleiben erfordert. Also haben wir zu zeigen, dass,
wenn
[Formel 1] ist, auch
[Formel 2] sein müsse. Dies ergiebt sich aber leicht, indem, wenn A + B + ...
der Summe P + Q + ... gleich gesetzt wird, und beides formelle
Summen sind, durch blosse Anwendung der Additionsgesetze (an-
dere Anordnung, Zusammenfassung der Stücke, Auflösung der Stücke
in kleinere Stücke) aus der einen die andere hervorgehen muss.
Da nun jeder solchen Veränderung, welche ohne Aenderung des Ge-
sammtwerthes verstattet ist, eine ebensolche mit den um den Fak-
tor p vermehrten Grössen entspricht, so wird, wenn man mit diesen
die entsprechenden Operationen, wie mit jenen vornimmt, gleich-
zeitig, während sich A + B + .... in P + Q + .... verwandelt,
auch A.p + B.p + ... in P.p + Q.p + ... übergehen. Somit
wird es gestattet sein, jene Definition festzustellen, welche hiernach
nichts ist, als eine abgekürzte Schreibart.

§ 53. Da ferner, wenn mit mehreren Strecken fortschreitend
d. h. so multiplicirt wird, dass das jedesmal gewonnene Resultat
mit dem nächstfolgenden Faktor multiplicirt wird, das Gesammtpro-
dukt stets gleichen Werth behält, sobald das Produkt jener Strecken
sich gleich bleibt, so können wir abkürzend statt jener Strecken,
mit welchen fortschreitend multiplicirt ist, ihr Produkt setzen.
Hierdurch ist der Begriff des Produktes zweier Ausdehnungen be-
stimmt, und so auch das Produkt einer formellen Summe in eine
Ausdehnung, ein Produkt, was zwar im Allgemeinen wieder eine
formelle Summe liefert, aber in besonderen Fällen auch in eine
Ausdehnung übergehen kann. *)

Dass nun nach dieser Bestimmung allgemein
[Formel 3]

*) Nämlich, wenn die Stücke der Summe von n-ter Stufe sind und einem
System (n + m)ter Stufe angehören, so wird durch Multiplikation mit einer Aus-
dehnung (m—1) ter Stufe desselben Systemes offenbar die formelle Summe in
eine Ausdchnung verwandelt.
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[81/0117] § 53 Multiplikation von Summengrössen. Konstantbleiben besteht, und das Princip der Gleichheit das gleich- zeitige Konstantbleiben erfordert. Also haben wir zu zeigen, dass, wenn [FORMEL] ist, auch [FORMEL] sein müsse. Dies ergiebt sich aber leicht, indem, wenn A + B + ... der Summe P + Q + ... gleich gesetzt wird, und beides formelle Summen sind, durch blosse Anwendung der Additionsgesetze (an- dere Anordnung, Zusammenfassung der Stücke, Auflösung der Stücke in kleinere Stücke) aus der einen die andere hervorgehen muss. Da nun jeder solchen Veränderung, welche ohne Aenderung des Ge- sammtwerthes verstattet ist, eine ebensolche mit den um den Fak- tor p vermehrten Grössen entspricht, so wird, wenn man mit diesen die entsprechenden Operationen, wie mit jenen vornimmt, gleich- zeitig, während sich A + B + .... in P + Q + .... verwandelt, auch A.p + B.p + ... in P.p + Q.p + ... übergehen. Somit wird es gestattet sein, jene Definition festzustellen, welche hiernach nichts ist, als eine abgekürzte Schreibart. § 53. Da ferner, wenn mit mehreren Strecken fortschreitend d. h. so multiplicirt wird, dass das jedesmal gewonnene Resultat mit dem nächstfolgenden Faktor multiplicirt wird, das Gesammtpro- dukt stets gleichen Werth behält, sobald das Produkt jener Strecken sich gleich bleibt, so können wir abkürzend statt jener Strecken, mit welchen fortschreitend multiplicirt ist, ihr Produkt setzen. Hierdurch ist der Begriff des Produktes zweier Ausdehnungen be- stimmt, und so auch das Produkt einer formellen Summe in eine Ausdehnung, ein Produkt, was zwar im Allgemeinen wieder eine formelle Summe liefert, aber in besonderen Fällen auch in eine Ausdehnung übergehen kann. *) Dass nun nach dieser Bestimmung allgemein [FORMEL] *) Nämlich, wenn die Stücke der Summe von n-ter Stufe sind und einem System (n + m)ter Stufe angehören, so wird durch Multiplikation mit einer Aus- dehnung (m—1) ter Stufe desselben Systemes offenbar die formelle Summe in eine Ausdchnung verwandelt. 6

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 81. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/117>, abgerufen am 28.04.2024.