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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 55 Zusammenfassung der Gesetze äusserer Multiplikation.
deren Anfangselement jenes Element ist, so ist die Gesammt-
heit der so gewonnenen Elemente die konkrete Darstellung
einer Ausdehnung, welche als Theil des zugehörigen Systems
aufgefasst, das Produkt jener Ausdehnung in diese Strecke ist,
und wir nannten dasselbe ein äusseres."

Ferner:

"wenn man eine Ausdehnung mit den einfachen
Faktoren einer andern fortschreitend auf die angegebene Weise
multiplicirt, so ist das Resultat als Produkt jener ersten Aus-
dehnung in diese letzte charakterisirt."
"Als Summe zweier Ausdehnungen n-ter Stuse in einem
Systeme (n + 1) ter Stuse wurde diejenige Ausdehnung nach-
gewiesen, welche hervorgeht, wenn man jene beiden aus einen
gemeinschaftlichen Faktor (n -- 1) ter Stuse brachte, und die
ungleichen Faktoren addirte."
"Als Summe zweier Ausdehnungen n-ter Stufe in einem
System von höherer als (n + 1) ter Stufe ergab sich die for-
melle Summengrösse, welche dasjenige darstellte, was bei An-
wendung der Additionsgesetze konstant blieb."
"Endlich als Produkt einer Summengrösse in eine andere
Grösse wurde die Summe aufgefasst, welche hervorgeht,
wenn jedes Stück des einen Faktors mit jedem des andern
multiplicirt, und diese Produkte addirt werden."

Die Gültigkeit aller dieser Bestimmungen wurde dadurch dar-
gethan, dass für die Addition die Grundgesetze derselben und für die
Multiplikation die Grundbeziehungen derselben zur Addition nach-
gewiesen wurden, indem darin zugleich der Nachweis lag, dass alle
Gesetze der Addition und Subtraktion und der Beziehung der Mul-
tiplikation zu beiden hier noch fortbestehen.

§ 55. Es bleibt uns nur noch übrig, die Gesetze, welche die
äussere Multiplikation als solche charakterisiren, in allgemeinerer
Form zu entwickeln. Wir hatten oben in § 35 als das Eigenthüm-
liche dieser Art der Multiplikation das Gesetz dargestellt, dass man,
wenn ein einfacher Faktor eines Produktes einen Summanden ent-
hält, welcher mit einem der angränzenden Faktoren gleichartig ist,
diesen Summanden ohne Werthänderung des Produktes weglassen
kann; daraus ergab sich (§ 36), dass das Produkt von n einfachen
Faktoren stets dann, aber auch nur dann als null erscheint, wenn

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§ 55 Zusammenfassung der Gesetze äusserer Multiplikation.
deren Anfangselement jenes Element ist, so ist die Gesammt-
heit der so gewonnenen Elemente die konkrete Darstellung
einer Ausdehnung, welche als Theil des zugehörigen Systems
aufgefasst, das Produkt jener Ausdehnung in diese Strecke ist,
und wir nannten dasselbe ein äusseres.“

Ferner:

„wenn man eine Ausdehnung mit den einfachen
Faktoren einer andern fortschreitend auf die angegebene Weise
multiplicirt, so ist das Resultat als Produkt jener ersten Aus-
dehnung in diese letzte charakterisirt.“
„Als Summe zweier Ausdehnungen n-ter Stuſe in einem
Systeme (n + 1) ter Stuſe wurde diejenige Ausdehnung nach-
gewiesen, welche hervorgeht, wenn man jene beiden auſ einen
gemeinschaftlichen Faktor (n — 1) ter Stuſe brachte, und die
ungleichen Faktoren addirte.“
„Als Summe zweier Ausdehnungen n-ter Stufe in einem
System von höherer als (n + 1) ter Stufe ergab sich die for-
melle Summengrösse, welche dasjenige darstellte, was bei An-
wendung der Additionsgesetze konstant blieb.“
„Endlich als Produkt einer Summengrösse in eine andere
Grösse wurde die Summe aufgefasst, welche hervorgeht,
wenn jedes Stück des einen Faktors mit jedem des andern
multiplicirt, und diese Produkte addirt werden.“

Die Gültigkeit aller dieser Bestimmungen wurde dadurch dar-
gethan, dass für die Addition die Grundgesetze derselben und für die
Multiplikation die Grundbeziehungen derselben zur Addition nach-
gewiesen wurden, indem darin zugleich der Nachweis lag, dass alle
Gesetze der Addition und Subtraktion und der Beziehung der Mul-
tiplikation zu beiden hier noch fortbestehen.

§ 55. Es bleibt uns nur noch übrig, die Gesetze, welche die
äussere Multiplikation als solche charakterisiren, in allgemeinerer
Form zu entwickeln. Wir hatten oben in § 35 als das Eigenthüm-
liche dieser Art der Multiplikation das Gesetz dargestellt, dass man,
wenn ein einfacher Faktor eines Produktes einen Summanden ent-
hält, welcher mit einem der angränzenden Faktoren gleichartig ist,
diesen Summanden ohne Werthänderung des Produktes weglassen
kann; daraus ergab sich (§ 36), dass das Produkt von n einfachen
Faktoren stets dann, aber auch nur dann als null erscheint, wenn

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[83/0119] § 55 Zusammenfassung der Gesetze äusserer Multiplikation. deren Anfangselement jenes Element ist, so ist die Gesammt- heit der so gewonnenen Elemente die konkrete Darstellung einer Ausdehnung, welche als Theil des zugehörigen Systems aufgefasst, das Produkt jener Ausdehnung in diese Strecke ist, und wir nannten dasselbe ein äusseres.“ Ferner: „wenn man eine Ausdehnung mit den einfachen Faktoren einer andern fortschreitend auf die angegebene Weise multiplicirt, so ist das Resultat als Produkt jener ersten Aus- dehnung in diese letzte charakterisirt.“ „Als Summe zweier Ausdehnungen n-ter Stuſe in einem Systeme (n + 1) ter Stuſe wurde diejenige Ausdehnung nach- gewiesen, welche hervorgeht, wenn man jene beiden auſ einen gemeinschaftlichen Faktor (n — 1) ter Stuſe brachte, und die ungleichen Faktoren addirte.“ „Als Summe zweier Ausdehnungen n-ter Stufe in einem System von höherer als (n + 1) ter Stufe ergab sich die for- melle Summengrösse, welche dasjenige darstellte, was bei An- wendung der Additionsgesetze konstant blieb.“ „Endlich als Produkt einer Summengrösse in eine andere Grösse wurde die Summe aufgefasst, welche hervorgeht, wenn jedes Stück des einen Faktors mit jedem des andern multiplicirt, und diese Produkte addirt werden.“ Die Gültigkeit aller dieser Bestimmungen wurde dadurch dar- gethan, dass für die Addition die Grundgesetze derselben und für die Multiplikation die Grundbeziehungen derselben zur Addition nach- gewiesen wurden, indem darin zugleich der Nachweis lag, dass alle Gesetze der Addition und Subtraktion und der Beziehung der Mul- tiplikation zu beiden hier noch fortbestehen. § 55. Es bleibt uns nur noch übrig, die Gesetze, welche die äussere Multiplikation als solche charakterisiren, in allgemeinerer Form zu entwickeln. Wir hatten oben in § 35 als das Eigenthüm- liche dieser Art der Multiplikation das Gesetz dargestellt, dass man, wenn ein einfacher Faktor eines Produktes einen Summanden ent- hält, welcher mit einem der angränzenden Faktoren gleichartig ist, diesen Summanden ohne Werthänderung des Produktes weglassen kann; daraus ergab sich (§ 36), dass das Produkt von n einfachen Faktoren stets dann, aber auch nur dann als null erscheint, wenn 6*

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 83. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/119>, abgerufen am 27.04.2024.