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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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Verknüpfung höherer Ausdehnungen. § 52
erscheint somit diese Summe nicht mehr als reine Ausdehnung,
d. h. als solche, welche durch fortschreitende Multiplikation der
Strecken gewonnen werden könnte, sondern sie tritt als Grösse
von neuer Art, und zwar zunächst als Grösse von blos formeller
Bedeutung hervor, die wir daher am passendsten mit dem Namen
der Summengrösse belegen könnten; wir fassen sie mit der Aus-
dehnung unter dem Begriffe der Ausdehnungsgrösse zusammen.
Um ihre konkrete Bedeutung zu gewinnen, müssten wir ihren Be-
reich ausmitteln, d. h. aufsuchen, wie sich die Form der Summe,
die in dem Werth der Stücke besteht, ändern könne, ohne dass
der Werth der Summe selbst sich ändere. Dadurch erhalten wir
eine Reihe von konkreten Darstellungen jener formellen Summe,
und die Gesammtheit dieser möglichen Darstellungen in Eins zu-
sammengeschaut, wie die Arten einer Gattung (nicht wie die Theile
eines Ganzen), würde uns den konkreten Begriff vor Augen legen.--
Indessen da diese Summengrösse nicht eher als in einem Systeme
vierter Stufe eintreten kann, sie also im Raume, als einem Systeme
dritter Stufe, keine Anwendung findet, so versparen wir uns diese
Darstellung bis zum siebenten Kapitel, in welchem sich die Bedeu-
tung einer solchen Summe auf einem verwandten Gebiet ergeben,
und sich durch Anschauungen sowohl der Geometrie, als besonders
der Statik fruchtreich gestalten wird.

§ 52. Dagegen dürfen wir unsere Aufgabe nicht fallen lassen,
das in diesem und dem vorigen Kapitel gewonnene Gesetz von
allen Schranken, in denen es noch zusammengeengt ist, zu be-
freien, und also auch die Beziehung der Multiplikation zu dieser
Addition aufzufassen. Aber da die formelle Summe keine Ausdeh-
nung darstellt, so ist auch das äussere Produkt jener formellen
Summe in eine Strecke noch nicht seiner Bedeutung nach be-
stimmt. Nun muss auch diese wiederum formell durch das Fort-
bestehen der multiplikativen Beziehung bestimmt werden, und wir
haben somit, wenn es überhaupt eine solche Multiplikation jener
Summengrössen geben soll, dieselbe so zu definiren, dass
[Formel 1] sei. Doch dürfen wir dies nur dann festsetzen, wenn bei dem
Konstantbleiben von A+B+C+ ... auch A.p+B.p+C.p+ ...
konstant bleibt, indem das Wesen der Summe nur in diesem

Verknüpfung höherer Ausdehnungen. § 52
erscheint somit diese Summe nicht mehr als reine Ausdehnung,
d. h. als solche, welche durch fortschreitende Multiplikation der
Strecken gewonnen werden könnte, sondern sie tritt als Grösse
von neuer Art, und zwar zunächst als Grösse von blos formeller
Bedeutung hervor, die wir daher am passendsten mit dem Namen
der Summengrösse belegen könnten; wir fassen sie mit der Aus-
dehnung unter dem Begriffe der Ausdehnungsgrösse zusammen.
Um ihre konkrete Bedeutung zu gewinnen, müssten wir ihren Be-
reich ausmitteln, d. h. aufsuchen, wie sich die Form der Summe,
die in dem Werth der Stücke besteht, ändern könne, ohne dass
der Werth der Summe selbst sich ändere. Dadurch erhalten wir
eine Reihe von konkreten Darstellungen jener formellen Summe,
und die Gesammtheit dieser möglichen Darstellungen in Eins zu-
sammengeschaut, wie die Arten einer Gattung (nicht wie die Theile
eines Ganzen), würde uns den konkreten Begriff vor Augen legen.—
Indessen da diese Summengrösse nicht eher als in einem Systeme
vierter Stufe eintreten kann, sie also im Raume, als einem Systeme
dritter Stufe, keine Anwendung findet, so versparen wir uns diese
Darstellung bis zum siebenten Kapitel, in welchem sich die Bedeu-
tung einer solchen Summe auf einem verwandten Gebiet ergeben,
und sich durch Anschauungen sowohl der Geometrie, als besonders
der Statik fruchtreich gestalten wird.

§ 52. Dagegen dürfen wir unsere Aufgabe nicht fallen lassen,
das in diesem und dem vorigen Kapitel gewonnene Gesetz von
allen Schranken, in denen es noch zusammengeengt ist, zu be-
freien, und also auch die Beziehung der Multiplikation zu dieser
Addition aufzufassen. Aber da die formelle Summe keine Ausdeh-
nung darstellt, so ist auch das äussere Produkt jener formellen
Summe in eine Strecke noch nicht seiner Bedeutung nach be-
stimmt. Nun muss auch diese wiederum formell durch das Fort-
bestehen der multiplikativen Beziehung bestimmt werden, und wir
haben somit, wenn es überhaupt eine solche Multiplikation jener
Summengrössen geben soll, dieselbe so zu definiren, dass
[Formel 1] sei. Doch dürfen wir dies nur dann festsetzen, wenn bei dem
Konstantbleiben von A+B+C+ ... auch A.p+B.p+C.p+ ...
konstant bleibt, indem das Wesen der Summe nur in diesem

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[80/0116] Verknüpfung höherer Ausdehnungen. § 52 erscheint somit diese Summe nicht mehr als reine Ausdehnung, d. h. als solche, welche durch fortschreitende Multiplikation der Strecken gewonnen werden könnte, sondern sie tritt als Grösse von neuer Art, und zwar zunächst als Grösse von blos formeller Bedeutung hervor, die wir daher am passendsten mit dem Namen der Summengrösse belegen könnten; wir fassen sie mit der Aus- dehnung unter dem Begriffe der Ausdehnungsgrösse zusammen. Um ihre konkrete Bedeutung zu gewinnen, müssten wir ihren Be- reich ausmitteln, d. h. aufsuchen, wie sich die Form der Summe, die in dem Werth der Stücke besteht, ändern könne, ohne dass der Werth der Summe selbst sich ändere. Dadurch erhalten wir eine Reihe von konkreten Darstellungen jener formellen Summe, und die Gesammtheit dieser möglichen Darstellungen in Eins zu- sammengeschaut, wie die Arten einer Gattung (nicht wie die Theile eines Ganzen), würde uns den konkreten Begriff vor Augen legen.— Indessen da diese Summengrösse nicht eher als in einem Systeme vierter Stufe eintreten kann, sie also im Raume, als einem Systeme dritter Stufe, keine Anwendung findet, so versparen wir uns diese Darstellung bis zum siebenten Kapitel, in welchem sich die Bedeu- tung einer solchen Summe auf einem verwandten Gebiet ergeben, und sich durch Anschauungen sowohl der Geometrie, als besonders der Statik fruchtreich gestalten wird. § 52. Dagegen dürfen wir unsere Aufgabe nicht fallen lassen, das in diesem und dem vorigen Kapitel gewonnene Gesetz von allen Schranken, in denen es noch zusammengeengt ist, zu be- freien, und also auch die Beziehung der Multiplikation zu dieser Addition aufzufassen. Aber da die formelle Summe keine Ausdeh- nung darstellt, so ist auch das äussere Produkt jener formellen Summe in eine Strecke noch nicht seiner Bedeutung nach be- stimmt. Nun muss auch diese wiederum formell durch das Fort- bestehen der multiplikativen Beziehung bestimmt werden, und wir haben somit, wenn es überhaupt eine solche Multiplikation jener Summengrössen geben soll, dieselbe so zu definiren, dass [FORMEL] sei. Doch dürfen wir dies nur dann festsetzen, wenn bei dem Konstantbleiben von A+B+C+ ... auch A.p+B.p+C.p+ ... konstant bleibt, indem das Wesen der Summe nur in diesem

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 80. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/116>, abgerufen am 28.04.2024.