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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 51 Formelle Summe von Ausdehnungen.
(A + B).c, also die Richtigkeit jener Gleichung bewiesen. Da so-
mit die Grundgesetze der Beziehung zwischen Addition und Multi-
plikation hier gelten, so gelten auch alle Gesetze dieser Beziehung,
und unsere Verknüpfungsweise ist daher sowohl an sich, als auch
in ihrer Beziehung als wahre Addition nachgewiesen. Somit kön-
nen wir nun den Hauptsatz des vorigen Kapitels (§ 36) dahin er-
weitern:

"Für äussere Produkte gelten, wenn Produkte aus n ein-
fachen Faktoren nur in einem Systeme (n+1) ter Stufe be-
trachtet werden, alle Gesetze der Addition und Subtraktion,
und alle Gesetze der Beziehung zwischen ihnen und der Mul-
tiplikation, wenn man die für diese Verknüpfungen aufgestell-
ten Begriffe festhält."

§ 51. Auch dies Gesetz hat also noch eine Beschränkung in
sich, was darin seinen Grund hat, dass wir höhere Ausdehnungen
bisher nur addiren konnten, wenn sie einem und demselben Sy-
steme nächst höherer Stufe angehörten. Wir müssen nun, um
das Gesetz in seiner Allgemeinheit außtellen zu können, auch
zeigen, was unter der Summe von Ausdehnungen, welche in be-
liebig höheren Systemen liegen, verstanden sein könne. Wollten
wir hier denselben Weg einzuschlagen versuchen, wie in den vor-
hergehenden Paragraphen, und also als Summe zweier Grössen
A. B und A. C, welche nicht demselben Systeme nächst höherer
Stufe angehören, die Grösse A.(B+C) auffassen, so würde dies
zu nichts führen, da dann B und C auch Ausdehnungen höherer
Stufen sind, welche nicht einem und demselben Systeme nächst
höherer Stusen angehören, und also die eine Summe ihrer Bedeu-
tung nach eben so unbekannt ist, wie die andere. Es bleibt uns
also nichts übrig, als den Begriff der Summe in diesem Falle rein
formell aufzusassen, ohne dass es möglich wäre, eine Ausdehnung
aufzuweisen, welche als die Summe sich darstellte. Wir definiren
daher die Summe von Ausdehnungen n-ter Stufe, welche einem
höheren Systeme als dem (n + 1) ter Stufe angehören, dadurch,
dass die Grundgesetze der Addition auf dieselbe anwendbar sein
sollen, d. h. also als "dasjenige, was konstant bleibt, welche Ver-
änderungen man auch mit der Form der Summe durch Anwendung
der Additions- und Subtraktions-Gesetze vornehmen mag." Es

§ 51 Formelle Summe von Ausdehnungen.
(A + B).c, also die Richtigkeit jener Gleichung bewiesen. Da so-
mit die Grundgesetze der Beziehung zwischen Addition und Multi-
plikation hier gelten, so gelten auch alle Gesetze dieser Beziehung,
und unsere Verknüpfungsweise ist daher sowohl an sich, als auch
in ihrer Beziehung als wahre Addition nachgewiesen. Somit kön-
nen wir nun den Hauptsatz des vorigen Kapitels (§ 36) dahin er-
weitern:

„Für äussere Produkte gelten, wenn Produkte aus n ein-
fachen Faktoren nur in einem Systeme (n+1) ter Stufe be-
trachtet werden, alle Gesetze der Addition und Subtraktion,
und alle Gesetze der Beziehung zwischen ihnen und der Mul-
tiplikation, wenn man die für diese Verknüpfungen aufgestell-
ten Begriffe festhält.“

§ 51. Auch dies Gesetz hat also noch eine Beschränkung in
sich, was darin seinen Grund hat, dass wir höhere Ausdehnungen
bisher nur addiren konnten, wenn sie einem und demselben Sy-
steme nächst höherer Stufe angehörten. Wir müssen nun, um
das Gesetz in seiner Allgemeinheit außtellen zu können, auch
zeigen, was unter der Summe von Ausdehnungen, welche in be-
liebig höheren Systemen liegen, verstanden sein könne. Wollten
wir hier denselben Weg einzuschlagen versuchen, wie in den vor-
hergehenden Paragraphen, und also als Summe zweier Grössen
A. B und A. C, welche nicht demselben Systeme nächst höherer
Stufe angehören, die Grösse A.(B+C) auffassen, so würde dies
zu nichts führen, da dann B und C auch Ausdehnungen höherer
Stufen sind, welche nicht einem und demselben Systeme nächst
höherer Stuſen angehören, und also die eine Summe ihrer Bedeu-
tung nach eben so unbekannt ist, wie die andere. Es bleibt uns
also nichts übrig, als den Begriff der Summe in diesem Falle rein
formell aufzuſassen, ohne dass es möglich wäre, eine Ausdehnung
aufzuweisen, welche als die Summe sich darstellte. Wir definiren
daher die Summe von Ausdehnungen n-ter Stufe, welche einem
höheren Systeme als dem (n + 1) ter Stufe angehören, dadurch,
dass die Grundgesetze der Addition auf dieselbe anwendbar sein
sollen, d. h. also als „dasjenige, was konstant bleibt, welche Ver-
änderungen man auch mit der Form der Summe durch Anwendung
der Additions- und Subtraktions-Gesetze vornehmen mag.“ Es

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[79/0115] § 51 Formelle Summe von Ausdehnungen. (A + B).c, also die Richtigkeit jener Gleichung bewiesen. Da so- mit die Grundgesetze der Beziehung zwischen Addition und Multi- plikation hier gelten, so gelten auch alle Gesetze dieser Beziehung, und unsere Verknüpfungsweise ist daher sowohl an sich, als auch in ihrer Beziehung als wahre Addition nachgewiesen. Somit kön- nen wir nun den Hauptsatz des vorigen Kapitels (§ 36) dahin er- weitern: „Für äussere Produkte gelten, wenn Produkte aus n ein- fachen Faktoren nur in einem Systeme (n+1) ter Stufe be- trachtet werden, alle Gesetze der Addition und Subtraktion, und alle Gesetze der Beziehung zwischen ihnen und der Mul- tiplikation, wenn man die für diese Verknüpfungen aufgestell- ten Begriffe festhält.“ § 51. Auch dies Gesetz hat also noch eine Beschränkung in sich, was darin seinen Grund hat, dass wir höhere Ausdehnungen bisher nur addiren konnten, wenn sie einem und demselben Sy- steme nächst höherer Stufe angehörten. Wir müssen nun, um das Gesetz in seiner Allgemeinheit außtellen zu können, auch zeigen, was unter der Summe von Ausdehnungen, welche in be- liebig höheren Systemen liegen, verstanden sein könne. Wollten wir hier denselben Weg einzuschlagen versuchen, wie in den vor- hergehenden Paragraphen, und also als Summe zweier Grössen A. B und A. C, welche nicht demselben Systeme nächst höherer Stufe angehören, die Grösse A.(B+C) auffassen, so würde dies zu nichts führen, da dann B und C auch Ausdehnungen höherer Stufen sind, welche nicht einem und demselben Systeme nächst höherer Stuſen angehören, und also die eine Summe ihrer Bedeu- tung nach eben so unbekannt ist, wie die andere. Es bleibt uns also nichts übrig, als den Begriff der Summe in diesem Falle rein formell aufzuſassen, ohne dass es möglich wäre, eine Ausdehnung aufzuweisen, welche als die Summe sich darstellte. Wir definiren daher die Summe von Ausdehnungen n-ter Stufe, welche einem höheren Systeme als dem (n + 1) ter Stufe angehören, dadurch, dass die Grundgesetze der Addition auf dieselbe anwendbar sein sollen, d. h. also als „dasjenige, was konstant bleibt, welche Ver- änderungen man auch mit der Form der Summe durch Anwendung der Additions- und Subtraktions-Gesetze vornehmen mag.“ Es

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 79. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/115>, abgerufen am 28.04.2024.