Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.
Verknüpfung höherer Ausdehnungen. § 50 voraus, dass D nicht null sei, nun können wir aber zeigen, dass,wenn D nicht null ist, es auch zu einer Grösse (C) hinzugelegt, ihren Werth ändern müsse. Unmittelbar ist dies klar, wenn C und D gleichartig sind, indem das durch Zusammendenken des Gleichartigen hervorgegangene nothwendig von jedem der Stücke verschieden ist. Sind aber C und D verschiedenartig, so lässt sich leicht zeigen, dass ihre Summe mit beiden verschiedenartig ist (immer vorausgesetzt, dass keins von beiden null ist). Da alles in demselben Systeme (n + 1) ter Stufe angenommen ist, so werden C und D sich auf einen gemeinschaftlichen Faktor (n--1)- ter Stufe bringen lassen. Es sei dieser E und [Formel 1] . Sind nun C und D verschiedenartig, so darf d nicht in dem Sy- steme E. c enthalten sein, also ist auch (c + d) nicht in ihm ent- halten; also auch E (c + d) mit E.c verschiedenartig, also kann es ihm auch nicht gleich sein. Somit wird durch Hinzulegen der Grösse D auch die Grösse C geändert; wenn also das eine Stück jener Summe sich ändert, während das andere dasselbe bleibt, so muss auch die Summe sich ändern. Soll folglich die Summe und das eine Stück derselben unverändert bleiben, so muss es auch das andere, d. h. das Resultat der Subtraktion ist eindeutig. Da nun alle drei Grundgesetze der Addition und Subtraktion hier gel- ten, so gelten auch alle Gesetze derselben. Die Grundbeziehung dieser Addition zur Multiplikation ist noch nicht vollständig darge- legt; nach der Definition ist zwar [Formel 2] ; allein es ist auch zu zeigen, dass [Formel 3] ist, wenn A und B Grössen n-ter Stufe in einem Systeme (n+1)- ter Stufe sind. Dann kann man A = E.a, B = E.b setzen (nach § 48), und hat [Formel 4] Der rechts stehende Ausdruck lässt sich, wenn man a und b zuerst auf die letzte Stelle bringt (wobei sich das Zeichen ändert), dann nach der Definition summirt, und endlich den Faktor (a + b) wie- der auf die vorletzte Stelle zurückbringt (wobei das Zeichen wieder das ursprüngliche wird), verwandeln in E.(a + b).c, d. h. in Verknüpfung höherer Ausdehnungen. § 50 voraus, dass D nicht null sei, nun können wir aber zeigen, dass,wenn D nicht null ist, es auch zu einer Grösse (C) hinzugelegt, ihren Werth ändern müsse. Unmittelbar ist dies klar, wenn C und D gleichartig sind, indem das durch Zusammendenken des Gleichartigen hervorgegangene nothwendig von jedem der Stücke verschieden ist. Sind aber C und D verschiedenartig, so lässt sich leicht zeigen, dass ihre Summe mit beiden verschiedenartig ist (immer vorausgesetzt, dass keins von beiden null ist). Da alles in demselben Systeme (n + 1) ter Stufe angenommen ist, so werden C und D sich auf einen gemeinschaftlichen Faktor (n—1)- ter Stufe bringen lassen. Es sei dieser E und [Formel 1] . Sind nun C und D verschiedenartig, so darf d nicht in dem Sy- steme E. c enthalten sein, also ist auch (c + d) nicht in ihm ent- halten; also auch E (c + d) mit E.c verschiedenartig, also kann es ihm auch nicht gleich sein. Somit wird durch Hinzulegen der Grösse D auch die Grösse C geändert; wenn also das eine Stück jener Summe sich ändert, während das andere dasselbe bleibt, so muss auch die Summe sich ändern. Soll folglich die Summe und das eine Stück derselben unverändert bleiben, so muss es auch das andere, d. h. das Resultat der Subtraktion ist eindeutig. Da nun alle drei Grundgesetze der Addition und Subtraktion hier gel- ten, so gelten auch alle Gesetze derselben. Die Grundbeziehung dieser Addition zur Multiplikation ist noch nicht vollständig darge- legt; nach der Definition ist zwar [Formel 2] ; allein es ist auch zu zeigen, dass [Formel 3] ist, wenn A und B Grössen n-ter Stufe in einem Systeme (n+1)- ter Stufe sind. Dann kann man A = E.a, B = E.b setzen (nach § 48), und hat [Formel 4] Der rechts stehende Ausdruck lässt sich, wenn man a und b zuerst auf die letzte Stelle bringt (wobei sich das Zeichen ändert), dann nach der Definition summirt, und endlich den Faktor (a + b) wie- der auf die vorletzte Stelle zurückbringt (wobei das Zeichen wieder das ursprüngliche wird), verwandeln in E.(a + b).c, d. h. in <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0114" n="78"/><fw place="top" type="header">Verknüpfung höherer Ausdehnungen. <hi rendition="#b">§ 50</hi></fw><lb/> voraus, dass D nicht null sei, nun können wir aber zeigen, dass,<lb/> wenn D nicht null ist, es auch zu einer Grösse (C) hinzugelegt,<lb/> ihren Werth ändern müsse. 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Verknüpfung höherer Ausdehnungen. § 50
voraus, dass D nicht null sei, nun können wir aber zeigen, dass,
wenn D nicht null ist, es auch zu einer Grösse (C) hinzugelegt,
ihren Werth ändern müsse. Unmittelbar ist dies klar, wenn C
und D gleichartig sind, indem das durch Zusammendenken des
Gleichartigen hervorgegangene nothwendig von jedem der Stücke
verschieden ist. Sind aber C und D verschiedenartig, so lässt
sich leicht zeigen, dass ihre Summe mit beiden verschiedenartig
ist (immer vorausgesetzt, dass keins von beiden null ist). Da
alles in demselben Systeme (n + 1) ter Stufe angenommen ist, so
werden C und D sich auf einen gemeinschaftlichen Faktor (n—1)-
ter Stufe bringen lassen. Es sei dieser E und
[FORMEL].
Sind nun C und D verschiedenartig, so darf d nicht in dem Sy-
steme E. c enthalten sein, also ist auch (c + d) nicht in ihm ent-
halten; also auch E (c + d) mit E.c verschiedenartig, also kann es
ihm auch nicht gleich sein. Somit wird durch Hinzulegen der
Grösse D auch die Grösse C geändert; wenn also das eine Stück
jener Summe sich ändert, während das andere dasselbe bleibt, so
muss auch die Summe sich ändern. Soll folglich die Summe und
das eine Stück derselben unverändert bleiben, so muss es auch
das andere, d. h. das Resultat der Subtraktion ist eindeutig. Da
nun alle drei Grundgesetze der Addition und Subtraktion hier gel-
ten, so gelten auch alle Gesetze derselben. Die Grundbeziehung
dieser Addition zur Multiplikation ist noch nicht vollständig darge-
legt; nach der Definition ist zwar
[FORMEL];
allein es ist auch zu zeigen, dass
[FORMEL] ist, wenn A und B Grössen n-ter Stufe in einem Systeme (n+1)-
ter Stufe sind. Dann kann man A = E.a, B = E.b setzen (nach
§ 48), und hat
[FORMEL] Der rechts stehende Ausdruck lässt sich, wenn man a und b zuerst
auf die letzte Stelle bringt (wobei sich das Zeichen ändert), dann
nach der Definition summirt, und endlich den Faktor (a + b) wie-
der auf die vorletzte Stelle zurückbringt (wobei das Zeichen wieder
das ursprüngliche wird), verwandeln in E.(a + b).c, d. h. in
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