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Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844.

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§ 49 Summe von Ausdehnungen in einem Systeme nächst höherer St.
ten, welcher von den sämmtlichen Strecken a1 .... an unabhängig
ist; es sei an+1 ein solcher Faktor, und also
[Formel 1] Da in einem System (n+1) ter Stufe nicht mehr als (n+1) von
einander unabhängige Strecken angenommen werden können, so
muss jeder von den Faktoren b1 .... bn--1 von jenen Strecken
a1 .... an+1 abhängig sein, d. h. sich als Summe darstellen las-
sen, deren Stücke diesen Strecken gleichartig sind. Denkt man
sich nun jeden dieser Faktoren b1 ... bn--1 als solche Summe dar-
gestellt, so kann man nun in jeder dasjenige Stück, was mit an+1
gleichartig ist, weglassen, ohne den Werth des Produktes Bn zu
ändern (vergl. § 35). Nach dieser Weglassung sei das Produkt
b1.b2 ....bn--1 übergegangen in Cm--1, so ist also
[Formel 2] Die Faktoren von Cn--1 sind nur noch von den Strecken a1 ....an,
d. h. von den Faktoren der Ausdehnungsgrösse An abhängig; oder
mit andern Worten, sie gehören dem Systeme An an, folglich wird
sich An nach der im Anfang dieses § angewandten Schlussfolge auf
den Faktor Cn--1 bringen lassen, wenn der n-te Faktor willkühr-
lich gewählt werden darf; somit lassen sich beide Ausdehnungs-
grössen An und Bn auf den gemeinschaftlichen Faktor Cn--1 brin-
gen, welcher von (n--1) ter Stufe ist oder, wie wir uns auch
kürzer ausdrücken, beide haben eine Ausdehnungsgrösse (n--1)ter
Stufe gemeinschaftlich. So wird nun die obige Definition so um-
gewandelt werden können:

"Zwei Ausdehnungsgrössen n-ter Stufe, welche demselben
System (n+1) ter Stufe angehören, werden addirt, indem man
sie auf einen gemeinschaftlichen Faktor (n--1) ter Stufe
bringt, und die Summe der ungleichen Faktoren mit diesem
gemeinschaftlichen Faktor verknüpft.

§ 49. Um nun die Geltung der Additionsgesetze, oder viel-
mehr zunächst nur die der Grundgesetze nachzuweisen, haben wir
zuerst die Vertauschbarkeit der Stücke darzuthun. Diese Stücke
werden sich nach dem vorigen § darstellen lassen in der Form
A. b und A. c. Nun ist
[Formel 3] ,
also sind die Stücke vertauschbar. Das zweite Gesetz, dessen

§ 49 Summe von Ausdehnungen in einem Systeme nächst höherer St.
ten, welcher von den sämmtlichen Strecken a1 .... an unabhängig
ist; es sei an+1 ein solcher Faktor, und also
[Formel 1] Da in einem System (n+1) ter Stufe nicht mehr als (n+1) von
einander unabhängige Strecken angenommen werden können, so
muss jeder von den Faktoren b1 .... bn—1 von jenen Strecken
a1 .... an+1 abhängig sein, d. h. sich als Summe darstellen las-
sen, deren Stücke diesen Strecken gleichartig sind. Denkt man
sich nun jeden dieser Faktoren b1 ... bn—1 als solche Summe dar-
gestellt, so kann man nun in jeder dasjenige Stück, was mit an+1
gleichartig ist, weglassen, ohne den Werth des Produktes Bn zu
ändern (vergl. § 35). Nach dieser Weglassung sei das Produkt
b1.b2 ....bn—1 übergegangen in Cm—1, so ist also
[Formel 2] Die Faktoren von Cn—1 sind nur noch von den Strecken a1 ....an,
d. h. von den Faktoren der Ausdehnungsgrösse An abhängig; oder
mit andern Worten, sie gehören dem Systeme An an, folglich wird
sich An nach der im Anfang dieses § angewandten Schlussfolge auf
den Faktor Cn—1 bringen lassen, wenn der n-te Faktor willkühr-
lich gewählt werden darf; somit lassen sich beide Ausdehnungs-
grössen An und Bn auf den gemeinschaftlichen Faktor Cn—1 brin-
gen, welcher von (n—1) ter Stufe ist oder, wie wir uns auch
kürzer ausdrücken, beide haben eine Ausdehnungsgrösse (n—1)ter
Stufe gemeinschaftlich. So wird nun die obige Definition so um-
gewandelt werden können:

„Zwei Ausdehnungsgrössen n-ter Stufe, welche demselben
System (n+1) ter Stufe angehören, werden addirt, indem man
sie auf einen gemeinschaftlichen Faktor (n—1) ter Stufe
bringt, und die Summe der ungleichen Faktoren mit diesem
gemeinschaftlichen Faktor verknüpft.

§ 49. Um nun die Geltung der Additionsgesetze, oder viel-
mehr zunächst nur die der Grundgesetze nachzuweisen, haben wir
zuerst die Vertauschbarkeit der Stücke darzuthun. Diese Stücke
werden sich nach dem vorigen § darstellen lassen in der Form
A. b und A. c. Nun ist
[Formel 3] ,
also sind die Stücke vertauschbar. Das zweite Gesetz, dessen

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[75/0111] § 49 Summe von Ausdehnungen in einem Systeme nächst höherer St. ten, welcher von den sämmtlichen Strecken a1 .... an unabhängig ist; es sei an+1 ein solcher Faktor, und also [FORMEL] Da in einem System (n+1) ter Stufe nicht mehr als (n+1) von einander unabhängige Strecken angenommen werden können, so muss jeder von den Faktoren b1 .... bn—1 von jenen Strecken a1 .... an+1 abhängig sein, d. h. sich als Summe darstellen las- sen, deren Stücke diesen Strecken gleichartig sind. Denkt man sich nun jeden dieser Faktoren b1 ... bn—1 als solche Summe dar- gestellt, so kann man nun in jeder dasjenige Stück, was mit an+1 gleichartig ist, weglassen, ohne den Werth des Produktes Bn zu ändern (vergl. § 35). Nach dieser Weglassung sei das Produkt b1.b2 ....bn—1 übergegangen in Cm—1, so ist also [FORMEL] Die Faktoren von Cn—1 sind nur noch von den Strecken a1 ....an, d. h. von den Faktoren der Ausdehnungsgrösse An abhängig; oder mit andern Worten, sie gehören dem Systeme An an, folglich wird sich An nach der im Anfang dieses § angewandten Schlussfolge auf den Faktor Cn—1 bringen lassen, wenn der n-te Faktor willkühr- lich gewählt werden darf; somit lassen sich beide Ausdehnungs- grössen An und Bn auf den gemeinschaftlichen Faktor Cn—1 brin- gen, welcher von (n—1) ter Stufe ist oder, wie wir uns auch kürzer ausdrücken, beide haben eine Ausdehnungsgrösse (n—1)ter Stufe gemeinschaftlich. So wird nun die obige Definition so um- gewandelt werden können: „Zwei Ausdehnungsgrössen n-ter Stufe, welche demselben System (n+1) ter Stufe angehören, werden addirt, indem man sie auf einen gemeinschaftlichen Faktor (n—1) ter Stufe bringt, und die Summe der ungleichen Faktoren mit diesem gemeinschaftlichen Faktor verknüpft. § 49. Um nun die Geltung der Additionsgesetze, oder viel- mehr zunächst nur die der Grundgesetze nachzuweisen, haben wir zuerst die Vertauschbarkeit der Stücke darzuthun. Diese Stücke werden sich nach dem vorigen § darstellen lassen in der Form A. b und A. c. Nun ist [FORMEL], also sind die Stücke vertauschbar. Das zweite Gesetz, dessen

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Zitationshilfe: Graßmann, Hermann: Die Wissenschaft der extensiven Grösse oder die Ausdehnungslehre, eine neue mathematische Disciplin. Bd. 1. Leipzig, 1844, S. 75. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/grassmann_ausdehnungslehre_1844/111>, abgerufen am 27.04.2024.